softmax函数的导数解释[关闭]

我正在尝试计算 softmax 激活函数的导数。我找到了这个 ：https://math.stackexchange.com/questions/945871/derivative-of-softmax-loss-function似乎没有人能够正确推导我们如何获得 i=j 和 i!= j 的答案。有人可以解释一下吗！当涉及到求和（如 softmax 激活函数的分母）时，我对导数感到困惑。

和的导数是导数之和，即：

    d(f1 + f2 + f3 + f4)/dx = df1/dx + df2/dx + df3/dx + df4/dx

推导出导数p_j关于o_i我们从以下开始：

    d_i(p_j) = d_i(exp(o_j) / Sum_k(exp(o_k)))

我决定使用d_i对于关于的导数o_i使本文更易于阅读。 使用乘积规则我们得到：

     d_i(exp(o_j)) / Sum_k(exp(o_k)) + exp(o_j) * d_i(1/Sum_k(exp(o_k)))

看第一项，导数将是0 if i != j，这可以用一个表示德尔塔函数我将其称为 D_ij。这给出（对于第一项）：

    = D_ij * exp(o_j) / Sum_k(exp(o_k))

这只是我们的原始函数乘以D_ij

    = D_ij * p_j

对于第二项，当我们单独导出总和的每个元素时，唯一的非零项将是i = k，这给了我们（不要忘记幂律，因为总和在分母中）

    = -exp(o_j) * Sum_k(d_i(exp(o_k)) / Sum_k(exp(o_k))^2
    = -exp(o_j) * exp(o_i) / Sum_k(exp(o_k))^2
    = -(exp(o_j) / Sum_k(exp(o_k))) * (exp(o_j) / Sum_k(exp(o_k)))
    = -p_j * p_i

将两者放在一起，我们得到了令人惊讶的简单公式：

    D_ij * p_j - p_j * p_i

如果你真的想要我们可以把它分成i = j and i != j cases:

    i = j: D_ii * p_i - p_i * p_i = p_i - p_i * p_i = p_i * (1 - p_i)

    i != j: D_ij * p_i - p_i * p_j = -p_i * p_j

这就是我们的答案。