3D 数学：根据“向上”和“向上”正交向量计算倾斜（滚动）角度

我希望这是提出这个问题的正确位置和这个一样 https://stackoverflow.com/questions/3035590/bank-angle-from-up-vector-and-look-at-vector，但表示为纯数学而不是图形（至少我希望我正确地将问题转换为数学）。

考虑到：

• 两个正交向量：Up (ux, uy, uz) 和 Look (lx, ly, lz)
• 垂直于 Look 的平面 P（因此包括 Up）
• Y1 是 Y（垂直轴）沿 P 的投影

问题：Y1 与 Up 之间的角度值是多少？

数学家们都会同意，这是一个非常基本的问题，但我已经挠头至少两周了，无法想象如何将 Y 投影到 P 上……也许现在太老了，无法找到学校练习的解决方案。

我正在寻找三角解，而不是使用矩阵的解。谢谢。

Edit：我发现我需要确定相对于旋转轴的角度的符号，该旋转轴必须是“Look”。我在链接的问题上发布了最终代码（请参阅上面的链接）。感谢那些提供帮助的人。我很感激你的时间。

我只是在纸上做这件事。我希望这是对的。

假设 Up 和 Look 已标准化，即长度为 1。假设平面 P 包含原点，L 为其法线。 Y 为 (0, 1, 0)

要将 Y 投影到 P 上，求其到 P 的距离...

d = Y dot L = ly

...然后将法线缩放-d以获得Y1（即Y在P上的投影）

Y1 = (lx * ly, ly * ly, lz * ly)

现在标准化 Y1，即按 (1 / 长度) 缩放。如果它的长度是 0 那么你就不走运了。

Y1 和 Up 的点积 = 角度的余弦。所以

angle = acos(Y1 dot Up)