机器视觉就是用机器代替人眼和人脑来做测量和判断。机器视觉系统工作的基本过程是获取目标的图像后，对图像进行识别、特征提取、分类、数学运算等分析操作，并根据图像的分析计算结果，来对相应的系统进行控制或决策的过程。
在很多机器视觉应用中，都需要用到机器视觉测量，即根据目标的图像，来得到目标在实际空间中的物理位置，典型的如抓取机械手、行走机器人、SLAM等。
要根据图像中的目标像素位置，得到目标的物理空间位置，我们需要首先有一个图像像素坐标与物理空间坐标的映射关系，也就是将光学成像过程抽象为一个数学公式，这种能够表达空间位置如何映射到图像像素位置的数学公式，就是所说的机器视觉成像模型，本文即讨论这种模型的机理。
机器视觉成像采用小孔成像模型，如下图所示
图1：
再次简化为下图
图2：
图中
X
X
X是一个空间点，
x
x
x为该空间点在图像中的成像点，
C
C
C为镜头光心(camera centre)，从图中可看到，
C
C
C、
x
x
x、
X
X
X三个点是共线的。
光心
C
C
C距离成像面(image plane）的距离即焦距
f
f
f。
后面的各个坐标系及其相互关系都是基于这个小孔成像模型推出。
说到机器视觉测量模型，就少不了先要了解整个模型中涉及的几个坐标系。
即图像中各像素点坐在的坐标系，如下图所示uov。
图3：
这个坐标系是一个二维坐标系，横坐标为图像宽度方向，纵坐标为图像高度方向，原点位于左上角，坐标轴单位为像素，与图像的像素点对应。
即图像传感器（如CMOS、CCD）坐标系，如下图所示xoy。
图4：
这个坐标系同样是一个二维坐标系，横坐标为传感器宽度方向，纵坐标为传感器高度方向，原点位于传感器中心，坐标轴单位为mm（根据实际需要设定，m、mm、……），后面的坐标系也都是同样单位，不再说明。
结合像素坐标系，我们可以得到下图
图5：
从此图中，我们可以得到像素坐标系uov与图像坐标系xoy的映射关系，即：
u
=
x
/
d
x
+
u
0
v
=
−
y
/
d
y
+
v
0
u=x/dx+u_0\\ v=-y/dy+v0
u=x/dx+u0v=−y/dy+v0
式中：
u
0
u_0
u0、
v
0
v_0
v0——图像中心像素点坐标（通常为图像横纵向分辨率的一半，但如果镜头与传感器位置装偏了，就不是一半了），单位pixel；
d
x
dx
dx、
d
y
dy
dy——传感器单元的横纵向尺寸（即像元尺寸），单位mm/pixel，通常像元是正方形，就有
d
x
=
d
y
dx=dy
dx=dy
上式写成齐次矩阵形式，就是像素坐标系与图像坐标系的转换关系
[
u
v
1
]
=
[
1
/
d
x
0
u
0
0
−
1
/
d
y
v
0
0
0
1
]
[
x
y
1
]
\left[\begin{matrix} u\\v\\1 \end{matrix}\right]= \left[\begin{matrix} 1/dx&0&u_0\\0&-1/dy&v_0\\0&0&1 \end{matrix}\right] \left[\begin{matrix} x\\y\\1 \end{matrix}\right]
⎣⎡uv1⎦⎤=⎣⎡1/dx000−1/dy0u0v01⎦⎤⎣⎡xy1⎦⎤
注意到以上公式中y方向加了个负号，是因为像素坐标系uov是个左手坐标系，但后面要讨论的三维坐标系都是采用右手坐标系，所以这里图像坐标系xoy直接设置为右手坐标系，负号是用来转换y轴方向。
在相机镜头上设置一个三维坐标系，如下图，原点位于光心，X轴与Y轴分别与图像坐标系的x和y轴平行，Z轴指向物方（注：这是我习惯用的一种相机坐标系定义，另外一种比较常见的是Z指向物方，XY指向恰好与我图中的相反，好处是内参中没有我这里内参的两个负号）。
图6：
根据前文的小孔成像模型，我们可以得到YOZ（YCZ）平面里的投影关系，如下图（XOZ平面同理）
图7：
上图中，根据相似三角形，有
f
Z
C
=
y
Y
C
\frac{f}{Z_C}=\frac{y}{Y_C}
ZCf=YCy以及
f
Z
C
=
x
X
C
\frac{f}{Z_C}=\frac{x}{X_C}
ZCf=XCx，因而可以写出相机坐标系与图像坐标系的转换关系，我们直接写为齐次坐标形式
[
x
y
1
]
=
[
f
/
Z
C
0
0
0
0
f
/
Z
C
0
0
0
0
1
/
Z
C
0
]
[
X
C
Y
C
Z
C
1
]
=
1
Z
C
[
f
0
0
0
0
f
0
0
0
0
1
0
]
[
X
C
Y
C
Z
C
1
]
\left[\begin{matrix} x\\y\\1 \end{matrix}\right]= \left[\begin{matrix} f/Z_C&0&0&0\\0&f/Z_C&0&0\\0&0&1/Z_C&0 \end{matrix}\right] \left[\begin{matrix} X_C\\Y_C\\Z_C\\1 \end{matrix}\right]=\frac{1}{Z_C}\left[\begin{matrix} f&0&0&0\\0&f&0&0\\0&0&1&0 \end{matrix}\right] \left[\begin{matrix} X_C\\Y_C\\Z_C\\1 \end{matrix}\right]
⎣⎡xy1⎦⎤=⎣⎡f/ZC000f/ZC0001/ZC000⎦⎤⎣⎢⎢⎡XCYCZC1⎦⎥⎥⎤=ZC1⎣⎡f000f0001000⎦⎤⎣⎢⎢⎡XCYCZC1⎦⎥⎥⎤
式中：
f
f
f——镜头焦距，有的文献里公式会把焦距分为X和Y向的
f
x
f_x
fx、
f
y
f_y
fy
代入前文的像素坐标系与图像坐标系的转换公式
[
u
v
1
]
=
[
1
/
d
x
0
u
0
0
−
1
/
d
y
v
0
0
0
1
]
[
x
y
1
]
=
1
Z
C
[
1
/
d
x
0
u
0
0
−
1
/
d
y
v
0
0
0
1
]
[
f
0
0
0
0
f
0
0
0
0
1
0
]
[
X
C
Y
C
Z
C
1
]
\left[\begin{matrix} u\\v\\1 \end{matrix}\right]= \left[\begin{matrix} 1/dx&0&u_0\\0&-1/dy&v_0\\0&0&1 \end{matrix}\right] \left[\begin{matrix} x\\y\\1 \end{matrix}\right]=\frac{1}{Z_C} \left[\begin{matrix} 1/dx&0&u_0\\0&-1/dy&v_0\\0&0&1 \end{matrix}\right] \left[\begin{matrix} f&0&0&0\\0&f&0&0\\0&0&1&0 \end{matrix}\right] \left[\begin{matrix} X_C\\Y_C\\Z_C\\1 \end{matrix}\right]
⎣⎡uv1⎦⎤=⎣⎡1/dx000−1/dy0u0v01⎦⎤⎣⎡xy1⎦⎤=ZC1⎣⎡1/dx000−1/dy0u0v01⎦⎤⎣⎡f000f0001000⎦⎤⎣⎢⎢⎡XCYCZC1⎦⎥⎥⎤
我们可以得到相机坐标系与像素坐标系的转换关系如下
[
u
v
1
]
=
1
Z
C
[
f
/
d
x
0
u
0
0
0
−
f
/
d
y
v
0
0
0
0
1
0
]
[
X
C
Y
C
Z
C
1
]
\left[\begin{matrix} u\\v\\1 \end{matrix}\right]=\frac{1}{Z_C} \left[\begin{matrix} f/dx&0&u_0&0\\0&-f/dy&v_0&0\\0&0&1&0 \end{matrix}\right] \left[\begin{matrix} X_C\\Y_C\\Z_C\\1 \end{matrix}\right]
⎣⎡uv1⎦⎤=ZC1⎣⎡f/dx000−f/dy0u0v01000⎦⎤⎣⎢⎢⎡XCYCZC1⎦⎥⎥⎤
我们用
M
1
M_1
M1表示公式中这个矩阵，同时从前面图6看到，图像实际上是从图中图像传感器的背面观测的，因此，需要给X向加个负号，有
M
1
=
[
−
f
/
d
x
0
u
0
0
0
−
f
/
d
y
v
0
0
0
0
1
0
]
M_1=\left[\begin{matrix} -f/dx&0&u_0&0\\0&-f/dy&v_0&0\\0&0&1&0 \end{matrix}\right]
M1=⎣⎡−f/dx000−f/dy0u0v01000⎦⎤
这个矩阵中的参数只与镜头焦距
f
f
f、像元尺寸
d
x
d
y
dxdy
dxdy、中心像素
u
0
v
0
u_0v_0
u0v0有关，这都是相机和镜头的内部参数，相机及镜头确定后这个矩阵就被确定，所以被称为内参矩阵。
世界坐标系是系统的绝对坐标系，同样是三维坐标系，原点及坐标轴方向根据我们需要来选定。
图8：
相机作为一个刚体，在世界坐标系中具有位姿——位置和姿态，位置即为相机（相机坐标系原点）相对于世界坐标系原点的平移，用一个3×1平移向量
T
C
T_C
TC表达，姿态即为相机（相机坐标系）相对于世界坐标系的旋转，用一个3×3旋转矩阵
R
C
R_C
RC表达
那么我们就可以得到相机坐标系与世界坐标系的关系
[
X
W
Y
W
Z
W
1
]
=
[
R
C
T
C
0
1
×
3
1
]
[
X
C
Y
C
Z
C
1
]
\left[\begin{matrix} X_W\\Y_W\\Z_W\\1 \end{matrix}\right]= \left[\begin{matrix} R_C&T_C\\0_{1×3}&1 \end{matrix}\right] \left[\begin{matrix} X_C\\Y_C\\Z_C\\1 \end{matrix}\right]
⎣⎢⎢⎡XWYWZW1⎦⎥⎥⎤=[RC01×3TC1]⎣⎢⎢⎡XCYCZC1⎦⎥⎥⎤
反过来
[
X
C
Y
C
Z
C
1
]
=
[
R
C
T
C
0
1
×
3
1
]
−
1
[
X
W
Y
W
Z
W
1
]
=
M
2
[
X
W
Y
W
Z
W
1
]
\left[\begin{matrix} X_C\\Y_C\\Z_C\\1 \end{matrix}\right]= \left[\begin{matrix} R_C&T_C\\0_{1×3}&1 \end{matrix}\right]^{-1} \left[\begin{matrix} X_W\\Y_W\\Z_W\\1 \end{matrix}\right]=M_2\left[\begin{matrix} X_W\\Y_W\\Z_W\\1 \end{matrix}\right]
⎣⎢⎢⎡XCYCZC1⎦⎥⎥⎤=[RC01×3TC1]−1⎣⎢⎢⎡XWYWZW1⎦⎥⎥⎤=M2⎣⎢⎢⎡XWYWZW1⎦⎥⎥⎤
这就是世界坐标系与相机坐标系的转换关系，其中的矩阵
M
2
M_2
M2与相机的位姿有关，称为外参矩阵。
代入前文的像素坐标系与相机坐标系的转换公式，得到
[
u
v
1
]
=
1
Z
C
[
−
f
/
d
x
0
u
0
0
0
−
f
/
d
y
v
0
0
0
0
1
0
]
[
X
C
Y
C
Z
C
1
]
=
1
Z
C
[
−
f
/
d
x
0
u
0
0
0
−
f
/
d
y
v
0
0
0
0
1
0
]
M
2
[
X
W
Y
W
Z
W
1
]
\left[\begin{matrix} u\\v\\1 \end{matrix}\right]=\frac{1}{Z_C} \left[\begin{matrix} -f/dx&0&u_0&0\\0&-f/dy&v_0&0\\0&0&1&0 \end{matrix}\right] \left[\begin{matrix} X_C\\Y_C\\Z_C\\1 \end{matrix}\right]=\frac{1}{Z_C} \left[\begin{matrix} -f/dx&0&u_0&0\\0&-f/dy&v_0&0\\0&0&1&0 \end{matrix}\right]M_2 \left[\begin{matrix} X_W\\Y_W\\Z_W\\1 \end{matrix}\right]
⎣⎡uv1⎦⎤=ZC1⎣⎡−f/dx000−f/dy0u0v01000⎦⎤⎣⎢⎢⎡XCYCZC1⎦⎥⎥⎤=ZC1⎣⎡−f/dx000−f/dy0u0v01000⎦⎤M2⎣⎢⎢⎡XWYWZW1⎦⎥⎥⎤
至此，我们就得到了像素坐标系与世界坐标系的映射关系，即机器视觉投影矩阵
[
u
v
1
]
=
1
Z
C
M
1
M
2
[
X
W
Y
W
Z
W
1
]
\left[\begin{matrix} u\\v\\1 \end{matrix}\right]=\frac{1}{Z_C} M_1M_2 \left[\begin{matrix} X_W\\Y_W\\Z_W\\1 \end{matrix}\right]
⎣⎡uv1⎦⎤=ZC1M1M2⎣⎢⎢⎡XWYWZW1⎦⎥⎥⎤
其中：
Z
C
Z_C
ZC——空间点在相机坐标系中的Z坐标
M
1
M_1
M1——内参矩阵，3×4矩阵，
M
1
=
[
−
f
/
d
x
0
u
0
0
0
−
f
/
d
y
v
0
0
0
0
1
0
]
M_1=\left[\begin{matrix} -f/dx&0&u_0&0\\0&-f/dy&v_0&0\\0&0&1&0 \end{matrix}\right]
M1=⎣⎡−f/dx000−f/dy0u0v01000⎦⎤
M
2
M_2
M2——外参矩阵，4×4矩阵，
M
2
=
[
r
11
r
12
r
13
t
x
r
21
r
22
r
23
t
y
r
31
r
32
r
33
t
z
0
0
0
1
]
M_2=\left[\begin{matrix} r_{11}&r_{12}&r_{13}&t_x\\ r_{21}&r_{22}&r_{23}&t_y\\ r_{31}&r_{32}&r_{33}&t_z\\ 0&0&0&1 \end{matrix}\right]
M2=⎣⎢⎢⎡r11r21r310r12r22r320r13r23r330txtytz1⎦⎥⎥⎤
模型建立后，其中的参数如何获取？这就涉及到下一个问题：《机器视觉-相机标定》
