e^x的基本算法——剥离大指数法
e^x泰勒展开式
e^x =
1+x+x^2/2!+x^3/3!+……+x^n/n!+……
当x<0.1时，e^x泰勒展开式收缩很快，
当x=1时，e=1+1/1!+1/2!+1/3!+....+1/(n-1)!+.....
＝2.7182818284590452353602874713527，收缩较快；
当x>1时，e^x泰勒展开式收缩慢，利用 e^(y+z)= (e^y)*
(e^z) 把指数的正整数部分和小数部分剥离出来。
整数部分进一步拆分为大整数和小整数，
小数部分进一步拆分为大小数和小小数，
当小小数<0.1时，用e^x泰勒展开式。
用平方，开平方，或e^x泰勒展开式先求出一些基本的e^m值
例如：e^768=(e^384
)^2=(5.87599003828924E+166)^2
＝(5.87599003828924^2)*(10^166)^2＝3.45272589300743E+333
这已经超过了Excel2003表格的计算上限。但是用科学计数法手工计算乘法很方便。都是10以内的乘法，只不过小数点后拖了十几位数而已。所谓的大数，不过是从10^166一下跳到10^332而已。
一些基本的e^m值表：15位有效数
指数m
e^m值
768.000
3.45272589300743E+333
512.000
2.28441358653976E+222
384.000
5.87599003828924E+166
256.000
1.51142766500410E+111
192.000
2.42404414941008E+83
128.000
3.88770840599460E+55
096.000
4.92345828601206E+41
064.000
6.23514908081162E+27
048.000
7.01673591209763E+20
032.000
7.89629601826807E+13
024.000
2.64891221298435E+10
016.000
8.88611052050787E+06
012.000
1.62754791419004E+05
008.000
2.98095798704173E+03
006.000
4.03428793492735E+02
004.000
5.45981500331442E+01
003.000
2.00855369231877E+01
002.000
7.38905609893065E+00
001.500
4.48168907033806E+00
001.000
2.71828182845905E+00
000.800
2.22554092849247E+00
000.500
1.64872127070013E+00
000.400
1.49182469764127E+00
000.250
1.28402541668774E+00
000.200
1.22140275816017E+00
000.125
1.13314845306683E+00
000.100
1.10517091807565E+00
上表指数有三个系列
指数0.1系列：0.8，0.4，0.2，0.1；
指数1系列：512，256，128，64，32，16，8，4，2，1，0.5，0.25，0.125；
指数3系列：768，384，192，96，48，24，12，6，3，1.5；
其中：指数0.1系列可以被替代合并到指数3系列中，变成
768，384，192，96，48，24，12，6，3，1.5，0.75，0.375，0.1875，0.09375；这在自动筛选中有优势；不过，在我的手工筛选中，看起来不直观，我没采纳。
三个系列指数依次减半，e^m值形成两道交叉拦截网，能快速剥离出上表已知的e^m大乘数，剩下小小乘数，用e^x泰勒展开式求得。
这就是e^x的基本算法——剥离大指数法，戏称“剥洋葱法”。
无论是大乘数，还是小乘数，在有效值范围内都没有误差。结果应该只有末位微小误差。
例1：求e^709.78
[附注]：e^709.78是Excel 2003能算的最大e指数。
解答方法：
与上表一些基本的e^m值比较大小，先减去比自身小的最大指数；剩余数再减去最大指数；直到剩余指数<0.1为止。剩下小小乘数，用e^x泰勒展开式求得。
解：709.78-512＝197.78-192＝5.78-4＝1.78-1.5＝0.28-0.25＝0.03
我上面连减连等，只是赋值过程，实际等式并不成立。
则e^709.78＝e^512*e^192*e^4*e^1.5*e^0.25*(1+0.03+0.03^2/2!+0.03^3/3!+…)
=(2.28441358653976E+222)*( 2.42404414941008E+83)*(
1.49182469764127E+00)
*( 4.48168907033806E+00)*( 1.28402541668774E+00)*
(1.03045453395352E+00)
=1.79282279439456E+308
对比
用winXP附件计算器算得e^709.78＝1.792822794394564537793394126609e+308
用Excel 2003所算exp(709.78)＝1.79282279439452E+308，末位误差4。
例2：求e^609.78
用剥离大指数法算得e^609.78＝6.66943700668976E+264
用winXP附件计算器算得e^609.78＝6.6694370066897621913640530143816e+264
用Excel 2003所算exp(609.78)＝6.66943700668958E+264，次末位误差2，误差超过预期值。
例3：求e^709.75
用winXP附件计算器算得e^609.75＝1.7398368732641605576982527118271e+308
用上述另外两种方法算得exp(709.75)＝1.73983687326416E+308，
都没有误差。
归纳3例：
我用剥离大指数法 剥离出 无论是大乘数，还是小乘数，在有效值范围内都没有误差。结果没有误差。而用Excel
2003所算exp(x)误差比我的大得多。
Excel 2003能算的e指数上限是e^709.78，
而winXP附件计算器的e指数上限是e^100000，十万！看着吓人，想当然认为运算量惊人，实际上指数翻倍表很快就能达到。只要多存贮十几个数就行。
e指数从768到98304的基本的e^m值表：32位有效数
指数m*
e^m值
98304**
7.6691815229220805415649846411723e+42692
65536**
8.3784949360959980424147659911234e+28461
49152**
2.7693287134109017758911569794102e+21346
32768**
9.153411897263226536143191093518e+14230
24576**
1.6641300169791126557423069120266e+10673
16384**
3.0254606091078473230142723118225e+7115
12288**
4.0793749729328789121855707231938e+5336
8192***
5.5004187196138507460749835307009e+3557
6144***
2.019746264492864190772097799669e+2668
4096***
7.4164807824289889048192105074986e+1778
3072***
1.4211777737119533881371856259636e+1334
2048***
2.7233216450557192501248059284353e+889
1536***
1.1921316092243982556320386304063e+667
1024***
5.2185454343674342011212095343615e+444
768****
3.452725893007433996921737546073e+333
例4：求e^1234.56
解：先逐层剥离大指数
1234.56-1024＝210.56-192＝18.56-16＝2.56-2＝0.56-0.5＝0.06
则e^1234.56＝e^1024* e^192* e^16* e^2* e^0.5* e^0.06
＝(5.2185454343674342011212095343615e+444)*(2.42404414941008E+83)
*(8.88611052050787E+06)*( 7.38905609893065)*(
1.64872127070013)
*(1+0.06+0.06^2/2!+0.06^3/3!+…)
在Excel 2003中先算e^192* e^16* e^2* e^0.5* e^0.06
＝2.78641699004831E+91
再乘以5.21854543436743，得1.45410436616604E+92
最后乘以10^444得1.45410436616604E+536
对比
用winXP附件计算器算得
e^1234.56＝1.4541043661660424155251073646321e+536
没有误差。
