计算机e的指数怎么计算方法,e^x的基本算法——剥离大指数法

2023-05-16

e^x的基本算法——剥离大指数法

e^x泰勒展开式

e^x =

1+x+x^2/2!+x^3/3!+……+x^n/n!+……

当x<0.1时,e^x泰勒展开式收缩很快,

当x=1时,e=1+1/1!+1/2!+1/3!+....+1/(n-1)!+.....

=2.7182818284590452353602874713527,收缩较快;

当x>1时,e^x泰勒展开式收缩慢,利用 e^(y+z)= (e^y)*

(e^z) 把指数的正整数部分和小数部分剥离出来。

整数部分进一步拆分为大整数和小整数,

小数部分进一步拆分为大小数和小小数,

当小小数<0.1时,用e^x泰勒展开式。

用平方,开平方,或e^x泰勒展开式先求出一些基本的e^m值

例如:e^768=(e^384

)^2=(5.87599003828924E+166)^2

=(5.87599003828924^2)*(10^166)^2=3.45272589300743E+333

这已经超过了Excel2003表格的计算上限。但是用科学计数法手工计算乘法很方便。都是10以内的乘法,只不过小数点后拖了十几位数而已。所谓的大数,不过是从10^166一下跳到10^332而已。

一些基本的e^m值表:15位有效数

指数m

e^m值

768.000

3.45272589300743E+333

512.000

2.28441358653976E+222

384.000

5.87599003828924E+166

256.000

1.51142766500410E+111

192.000

2.42404414941008E+83

128.000

3.88770840599460E+55

096.000

4.92345828601206E+41

064.000

6.23514908081162E+27

048.000

7.01673591209763E+20

032.000

7.89629601826807E+13

024.000

2.64891221298435E+10

016.000

8.88611052050787E+06

012.000

1.62754791419004E+05

008.000

2.98095798704173E+03

006.000

4.03428793492735E+02

004.000

5.45981500331442E+01

003.000

2.00855369231877E+01

002.000

7.38905609893065E+00

001.500

4.48168907033806E+00

001.000

2.71828182845905E+00

000.800

2.22554092849247E+00

000.500

1.64872127070013E+00

000.400

1.49182469764127E+00

000.250

1.28402541668774E+00

000.200

1.22140275816017E+00

000.125

1.13314845306683E+00

000.100

1.10517091807565E+00

上表指数有三个系列

指数0.1系列:0.8,0.4,0.2,0.1;

指数1系列:512,256,128,64,32,16,8,4,2,1,0.5,0.25,0.125;

指数3系列:768,384,192,96,48,24,12,6,3,1.5;

其中:指数0.1系列可以被替代合并到指数3系列中,变成

768,384,192,96,48,24,12,6,3,1.5,0.75,0.375,0.1875,0.09375;这在自动筛选中有优势;不过,在我的手工筛选中,看起来不直观,我没采纳。

三个系列指数依次减半,e^m值形成两道交叉拦截网,能快速剥离出上表已知的e^m大乘数,剩下小小乘数,用e^x泰勒展开式求得。

这就是e^x的基本算法——剥离大指数法,戏称“剥洋葱法”。

无论是大乘数,还是小乘数,在有效值范围内都没有误差。结果应该只有末位微小误差。

例1:求e^709.78

[附注]:e^709.78是Excel 2003能算的最大e指数。

解答方法:

与上表一些基本的e^m值比较大小,先减去比自身小的最大指数;剩余数再减去最大指数;直到剩余指数<0.1为止。剩下小小乘数,用e^x泰勒展开式求得。

解:709.78-512=197.78-192=5.78-4=1.78-1.5=0.28-0.25=0.03

我上面连减连等,只是赋值过程,实际等式并不成立。

则e^709.78=e^512*e^192*e^4*e^1.5*e^0.25*(1+0.03+0.03^2/2!+0.03^3/3!+…)

=(2.28441358653976E+222)*( 2.42404414941008E+83)*(

1.49182469764127E+00)

*( 4.48168907033806E+00)*( 1.28402541668774E+00)*

(1.03045453395352E+00)

=1.79282279439456E+308

对比

用winXP附件计算器算得e^709.78=1.792822794394564537793394126609e+308

用Excel 2003所算exp(709.78)=1.79282279439452E+308,末位误差4。

例2:求e^609.78

用剥离大指数法算得e^609.78=6.66943700668976E+264

用winXP附件计算器算得e^609.78=6.6694370066897621913640530143816e+264

用Excel 2003所算exp(609.78)=6.66943700668958E+264,次末位误差2,误差超过预期值。

例3:求e^709.75

用winXP附件计算器算得e^609.75=1.7398368732641605576982527118271e+308

用上述另外两种方法算得exp(709.75)=1.73983687326416E+308,

都没有误差。

归纳3例:

我用剥离大指数法 剥离出 无论是大乘数,还是小乘数,在有效值范围内都没有误差。结果没有误差。而用Excel

2003所算exp(x)误差比我的大得多。

Excel 2003能算的e指数上限是e^709.78,

而winXP附件计算器的e指数上限是e^100000,十万!看着吓人,想当然认为运算量惊人,实际上指数翻倍表很快就能达到。只要多存贮十几个数就行。

e指数从768到98304的基本的e^m值表:32位有效数

指数m*

e^m值

98304**

7.6691815229220805415649846411723e+42692

65536**

8.3784949360959980424147659911234e+28461

49152**

2.7693287134109017758911569794102e+21346

32768**

9.153411897263226536143191093518e+14230

24576**

1.6641300169791126557423069120266e+10673

16384**

3.0254606091078473230142723118225e+7115

12288**

4.0793749729328789121855707231938e+5336

8192***

5.5004187196138507460749835307009e+3557

6144***

2.019746264492864190772097799669e+2668

4096***

7.4164807824289889048192105074986e+1778

3072***

1.4211777737119533881371856259636e+1334

2048***

2.7233216450557192501248059284353e+889

1536***

1.1921316092243982556320386304063e+667

1024***

5.2185454343674342011212095343615e+444

768****

3.452725893007433996921737546073e+333

例4:求e^1234.56

解:先逐层剥离大指数

1234.56-1024=210.56-192=18.56-16=2.56-2=0.56-0.5=0.06

则e^1234.56=e^1024* e^192* e^16* e^2* e^0.5* e^0.06

=(5.2185454343674342011212095343615e+444)*(2.42404414941008E+83)

*(8.88611052050787E+06)*( 7.38905609893065)*(

1.64872127070013)

*(1+0.06+0.06^2/2!+0.06^3/3!+…)

在Excel 2003中先算e^192* e^16* e^2* e^0.5* e^0.06

=2.78641699004831E+91

再乘以5.21854543436743,得1.45410436616604E+92

最后乘以10^444得1.45410436616604E+536

对比

用winXP附件计算器算得

e^1234.56=1.4541043661660424155251073646321e+536

没有误差。

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