如何在给定视图空间深度值和 ndc xy 的情况下恢复视图空间位置

我正在编写一个延迟着色器，并试图将我的 gbuffer 包装得更紧密。但是，我似乎无法正确计算给定视图空间深度的视图位置

// depth -> (gl_ModelViewMatrix * vec4(pos.xyz, 1)).z; where pos is the model space position
// fov -> field of view in radians (0.62831855, 0.47123888)
// p -> ndc position, x, y [-1, 1]
vec3 getPosition(float depth, vec2 fov, vec2 p)
{
    vec3 pos;
    pos.x = -depth * tan( HALF_PI - fov.x/2.0 ) * (p.x);
    pos.y = -depth * tan( HALF_PI - fov.y/2.0 ) * (p.y);
    pos.z = depth;
    return pos;
}

计算出的位置是错误的。我知道这一点是因为我仍在 gbuffer 中存储正确的位置并使用它进行测试。

透视投影中恢复视图空间位置的3种解决方案

投影矩阵描述了从场景的 3D 点到视口的 2D 点的映射。它从视图（眼睛）空间变换到剪辑空间，并且剪辑空间中的坐标除以w剪辑坐标的组成部分。 NDC 的范围为 (-1,-1,-1) 到 (1,1,1)。

在透视投影中，投影矩阵描述了从针孔相机看到的世界上的 3D 点到视口的 2D 点的映射。
相机平截头体（截棱锥体）中的眼睛空间坐标被映射到立方体（标准化设备坐标）。

透视投影矩阵：

r = right, l = left, b = bottom, t = top, n = near, f = far

2*n/(r-l)      0              0               0
0              2*n/(t-b)      0               0
(r+l)/(r-l)    (t+b)/(t-b)    -(f+n)/(f-n)    -1    
0              0              -2*f*n/(f-n)    0

它跟随：

aspect = w / h
tanFov = tan( fov_y * 0.5 );

prjMat[0][0] = 2*n/(r-l) = 1.0 / (tanFov * aspect)
prjMat[1][1] = 2*n/(t-b) = 1.0 / tanFov

在透视投影中，Z 分量由以下公式计算有理函数:

z_ndc = ( -z_eye * (f+n)/(f-n) - 2*f*n/(f-n) ) / -z_eye

深度 （gl_FragCoord.z and gl_FragDepth) 计算如下：

z_ndc = clip_space_pos.z / clip_space_pos.w;
depth = (((farZ-nearZ) * z_ndc) + nearZ + farZ) / 2.0;

1. 视野和纵横比

由于投影矩阵是由视场和纵横比定义的，因此可以利用视场和纵横比来恢复视口位置。假设它是对称透视投影并且标准化设备坐标，则深度以及近平面和远平面是已知的。

恢复视图空间中的 Z 距离：

z_ndc = 2.0 * depth - 1.0;
z_eye = 2.0 * n * f / (f + n - z_ndc * (f - n));

通过 XY 标准化设备坐标恢复视图空间位置：

ndc_x, ndc_y = xy normalized device coordinates in range from (-1, -1) to (1, 1):

viewPos.x = z_eye * ndc_x * aspect * tanFov;
viewPos.y = z_eye * ndc_y * tanFov;
viewPos.z = -z_eye; 

2. 投影矩阵

由视场和纵横比定义的投影参数存储在投影矩阵中。因此，可以通过对称透视投影的投影矩阵的值来恢复视口位置。

注意投影矩阵、视场和纵横比之间的关系：

prjMat[0][0] = 2*n/(r-l) = 1.0 / (tanFov * aspect);
prjMat[1][1] = 2*n/(t-b) = 1.0 / tanFov;

prjMat[2][2] = -(f+n)/(f-n)
prjMat[3][2] = -2*f*n/(f-n)

恢复视图空间中的 Z 距离：

A     = prj_mat[2][2];
B     = prj_mat[3][2];
z_ndc = 2.0 * depth - 1.0;
z_eye = B / (A + z_ndc);

通过 XY 标准化设备坐标恢复视图空间位置：

viewPos.x = z_eye * ndc_x / prjMat[0][0];
viewPos.y = z_eye * ndc_y / prjMat[1][1];
viewPos.z = -z_eye; 

3. 逆投影矩阵

当然，可以通过逆投影矩阵来恢复视口位置。

mat4 inversePrjMat = inverse( prjMat );
vec4 viewPosH      = inversePrjMat * vec3( ndc_x, ndc_y, 2.0 * depth - 1.0, 1.0 )
vec3 viewPos       = viewPos.xyz / viewPos.w;

另请参阅以下问题的答案：

• 如何在现代 OpenGL 中使用片段着色器中的 gl_FragCoord.z 线性渲染深度？