老早以前在学习初等函数的时候,线性函数中的两直线y = m0x + b0, y = m1x +b1如果垂直,则有结论两条直线的斜率乘积为-1即m0*m1 = -1,以前也只是拿来用,没有证明过。最近在学图形学的时候,突然想起了这个点,因此记一篇笔记,证明一下。![](https://img-blog.csdnimg.cn/9417be56b2494a3a920378b6ca7d56f7.png)
如上图所示,有两条直线:
和
,它们相互垂直。这里可以得到一个隐含的条件是:
(斜率相等,y轴截距不同的两条直线是平行的,垂直的话则斜率不等)。
图中两条直线的交点的坐标,我们可以通过求解方程得到,交点的y是相同的,因此我们有:
![m_0x + b_0 = m_1x + b_1](https://latex.csdn.net/eq?m_0x%20+%20b_0%20%3D%20m_1x%20+%20b_1)
求解得到交点的x坐标为:
,
将x分别代入y0和y1,得到交点的y坐标分别为:
和
,这两个值是相等的
因此,图中三个关键的点坐标如下:
直线y0在y轴的交点A坐标为(0,b0)
直线y1在y轴的交点B坐标为(0,b1)
两直线交点C坐标为
这两个坐标对应同一个点。
由于两条直线垂直,由勾股定理可知,斜边AB距离的平方 = 直角边AC距离的平方 + 直角边BC距离的平方。
根据两点之间的距离公式,可以得到下面的等式:
AB的距离的平方 = ![(b_1 - b_0)^2](https://latex.csdn.net/eq?%28b_1%20-%20b_0%29%5E2)
AC的距离的平方 =
(用C的第一种形式做距离计算,可以减掉b0)
BC的距离的平方 =
(用C的第二种形式做距离计算,可以减掉b1)
根据勾股定义,可得:
![(b_1 - b_0)^2 = (\frac{m_0(b_1 - b_0)}{m_0 - m_1} )^2 + (\frac{b_1 - b_0}{m_0 - m_1})^2 + (\frac{m_1(b_1 - b_0)}{m_0 - m_1} )^2 + (\frac{b_1 - b_0}{m_0 - m_1})^2](https://latex.csdn.net/eq?%28b_1%20-%20b_0%29%5E2%20%3D%20%28%5Cfrac%7Bm_0%28b_1%20-%20b_0%29%7D%7Bm_0%20-%20m_1%7D%20%29%5E2%20+%20%28%5Cfrac%7Bb_1%20-%20b_0%7D%7Bm_0%20-%20m_1%7D%29%5E2%20+%20%28%5Cfrac%7Bm_1%28b_1%20-%20b_0%29%7D%7Bm_0%20-%20m_1%7D%20%29%5E2%20+%20%28%5Cfrac%7Bb_1%20-%20b_0%7D%7Bm_0%20-%20m_1%7D%29%5E2)
整理一下,得到:
![(b_1 - b_0)^2 = \frac{m_0^2(b_1 - b_0)^2}{(m_0 - m_1)^2} + 2\frac{(b_1 - b_0)^2}{(m_0 - m_1)^2}) + \frac{m_1^2(b_1 - b_0)^2}{(m_0 - m_1)^2}](https://latex.csdn.net/eq?%28b_1%20-%20b_0%29%5E2%20%3D%20%5Cfrac%7Bm_0%5E2%28b_1%20-%20b_0%29%5E2%7D%7B%28m_0%20-%20m_1%29%5E2%7D%20+%202%5Cfrac%7B%28b_1%20-%20b_0%29%5E2%7D%7B%28m_0%20-%20m_1%29%5E2%7D%29%20+%20%5Cfrac%7Bm_1%5E2%28b_1%20-%20b_0%29%5E2%7D%7B%28m_0%20-%20m_1%29%5E2%7D)
约掉(b1- b0)^2,整理得到:
![(m_0 - m_1)^2 = m_0^2 + 2 + m_1^2](https://latex.csdn.net/eq?%28m_0%20-%20m_1%29%5E2%20%3D%20m_0%5E2%20+%202%20+%20m_1%5E2)
展开平方差:
![m_0^2 + m_1^2 - 2m_0m_1 = m_0^2 + m_1^2 + 2](https://latex.csdn.net/eq?m_0%5E2%20+%20m_1%5E2%20-%202m_0m_1%20%3D%20m_0%5E2%20+%20m_1%5E2%20+%202)
整理得到
, 因此 ![m_0m_1 = -1](https://latex.csdn.net/eq?m_0m_1%20%3D%20-1)