第六课 解方程组
1/6判断方程组解的情况
判断方程组的解的情况:
![image-20230102172540507](https://img-blog.csdnimg.cn/img_convert/e497e7838582d740d0428db3b1a564c8.png)
齐次唯一解例题:
![image-20230102190257342](https://img-blog.csdnimg.cn/img_convert/4278a3a4ff19c35fc9ee29d34a08af55.png)
非齐次无解例题:
![image-20230102190442718](https://img-blog.csdnimg.cn/img_convert/b5379ead31cdabaa0c31c4ca807c87df.png)
非齐次有解例题:
![image-20230102190548624](https://img-blog.csdnimg.cn/img_convert/693cfd7a13c15008efe37ee24bdc2b30.png)
2/6解方程组
解方程组:共有五步
①求增广矩阵的秩:
![image-20230102190722330](https://img-blog.csdnimg.cn/img_convert/6670bf528597aebff972636b1a79f706.png)
②变换矩阵:
R=3,就变换前三行,前三列,为单位矩阵的形式
![image-20230102190839789](https://img-blog.csdnimg.cn/img_convert/f47b914c0097218423db09b8388adf77.png)
③ 根据②得到的矩阵变回方程组:
![image-20230102190944928](https://img-blog.csdnimg.cn/img_convert/5862dd07dd9b8dd44a191dabe002c8e1.png)
④设未知数:
![image-20230102191043486](https://img-blog.csdnimg.cn/img_convert/b920268b7e9ea85eeffe67663035ad5a.png)
⑤整理成标准型,再用刚刚设的未知数替代题目原来的未知数:
![image-20230102191232662](https://img-blog.csdnimg.cn/img_convert/11b9510f5269dc84fbcbe363c995ad89.png)
这里④中我们只设置了一个未知数K,则在⑤中为用k替代X4
![image-20230102191545860](https://img-blog.csdnimg.cn/img_convert/7f150d9722bdfb2fde14dfaa112df02e.png)
下面就是本题的解,k可取任意值:
![image-20230102191719684](https://img-blog.csdnimg.cn/img_convert/c868aee0ebf1150256ee2dd10ae1496a.png)
例题(非齐次)
![image-20230102192143388](https://img-blog.csdnimg.cn/img_convert/8e39dcf09b37106b9031285d321b39e1.png)
这里④中我们设置了三个未知数K1、K2、K3,则在⑤中为用K1替代X5、K2替代X4、K3替代X3
![image-20230102192446911](https://img-blog.csdnimg.cn/img_convert/9894cd7136e941052fdfe21165a04994.png)
例题(齐次)
如果是齐次方程组呢?
常数项都抹掉就完了、
![image-20230102192721133](https://img-blog.csdnimg.cn/img_convert/00f837bde0bab4b88fc091b8cee2e4b9.png)
3/6 求方程组的通解、特解、基础解系
求方程组的通解、特解。基础解系:
要先解出方程组的解。
通解,含有所有的未知数,能代表所有情况的解
①求方程组的通解
![image-20230102192929236](https://img-blog.csdnimg.cn/img_convert/81ef7b954d97319c7bb0bf13b894cc09.png)
②求方程组的特解
特解就是**一组x1–xn的值**,代入原方程,可以满足:
也就是未知数随便取值:这是一个特解
![image-20230102193206854](https://img-blog.csdnimg.cn/img_convert/5a27fd6893a2a41fdbdd871f6926af2c.png)
一般都令所有未知数=0,这样可以简化计算量
③求方程组的基础解系
![image-20230102193509966](https://img-blog.csdnimg.cn/img_convert/36a4f3a3d19d2609cb8a7d80e3f16307.png)
4/6 已知某方程组多个特解,求某齐次方程组的通解
![image-20230102193713680](https://img-blog.csdnimg.cn/img_convert/174a03066bceecdf7f473e6b09fb05e6.png)
解题步骤共三步:
①设未知数:
![image-20230102193807537](https://img-blog.csdnimg.cn/img_convert/f072f6cc45cde5b527f688b75202f96b.png)
结果为:
设有未知数
k
1
、
k
2
设有未知数k_1、k_2
设有未知数k1、k2
②找出n个线性无关的矩阵X1,X2,…Xn,使其替代x,满足要求通解的式子
![image-20230102194510595](https://img-blog.csdnimg.cn/img_convert/0100e4b2498f098700cd2183221b73e3.png)
③求通解
![image-20230102194607358](https://img-blog.csdnimg.cn/img_convert/a2c1649114eb4078a7f5282be3e68906.png)
5/6 已知某方程组多个特解,求某非齐次方程组的通解
非齐次方程组的通解=对应齐次方程组的通解(①②③)+非齐次方程组的特解(④)
![image-20230102194717878](https://img-blog.csdnimg.cn/img_convert/0e90683e6eb77045e53d87297787b864.png)
解题步骤共四步:
①设未知数:
![image-20230102194815959](https://img-blog.csdnimg.cn/img_convert/37a73232412fae451eff9e8463ff7f77.png)
结果为:
设有未知数
k
1
、
k
2
设有未知数k_1、k_2
设有未知数k1、k2
②找出n个线性无关的矩阵X1,X2,…Xn,使其替代x,满足去掉参数项后的要求通解的式子
![image-20230102195037577](https://img-blog.csdnimg.cn/img_convert/62dbf32c5c3956798b6ab1b4b3c8dd96.png)
③找出一个矩阵Y,使其满足要求通解的式子
![image-20230102195208677](https://img-blog.csdnimg.cn/img_convert/7d8d222ebac73e4f2a0d1045cf802452.png)
④求通解
![image-20230102195323442](https://img-blog.csdnimg.cn/img_convert/63145dc03280624389b230f1c44e0b3b.png)
6/6 判断解集合中线性无关的解向量的个数
直接背公式:
①齐次
![image-20230102195726778](https://img-blog.csdnimg.cn/img_convert/e26a4d14eec949d2df069734a7ae2961.png)
②非齐次
![image-20230102195836175](https://img-blog.csdnimg.cn/img_convert/3460c8f3fa5109515b7a52fcd52c1a15.png)