1.2误差基础知识
1.2.1误差来源
①.数学模型与实际问题的差异称为模型误差。
②.数学模型中常常还包含有一些参数,是通过仪表观测得到的,将其中包含的误差称之为观测误差。
③.将数值问题的精确解与待求解模型的理论分析解之间的差异,称之为截断误差或方法误差。
④.因为在计算机实现数值方法的过程中,计算机表示浮点数采用的是固定有限字长,因而仅能够区分有限个信息,准确表示在某个有限范围内的某些有理数,不能准确的表述数学中所有的实数,这样在计算机中表示的原始输入数据、中间计算数据、以及最终的输出结果必然产生误差,称此类误差为舍入误差。
1.2.2误差度量
①.绝对误差:设 x* 是准确值 x 的一个近似,称 e(x*)= x* - x 为 x* 近似 x 的绝对误差,简称误差。(简而言之:近似值减去精确值=误差)
②.绝对误差限:通常准确值 x 是不知道的,故不能计算出绝对误差 e* 。如果存在着的正数 a* = a(x*),使得绝对误差 |e*| = | x* - x | <= a* ,则称 a* 为 x* 近似 x 的一个绝对误差限,简称误差限。(简而言之:近似值的误差不会超过误差限)
③.相对误差:设 x* 是准确值 x(≠0)的一个近似,称 er(x*)= (x*-x)/x 为 x* 近似 x 的相对误差。相对误差越小,代表近似程度更好。(简:相对误差就是看误差部分占总数的比例)
④.相对误差限:数值 |er*| 的上界就是相对误差限。 注:er* = e*/x* (简:绝对误差除以近似值)
⑤.有效数字:![Alt](https://img-blog.csdnimg.cn/9ab65abadab04f678e0b19a9c8c262a8.png#pic_center)
⑥.有效数:当 x* 精确到末尾,即有 n=p ,则称 x* 为有效数。(有效数的末尾不能随意添加零)
例题(助理解)
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⑦.三种度量之间的关系:
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例题(助理解)
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1.2.3初值误差传播
近似数参加运算后所得之值一般也是近似值,含有误差,将这一现象称为误差传播。
①用泰勒公式分析初值的误差传播规律:(略)
②区间分析法:(略)
③计算函数值的条件数:设 x* 是 x 的较好近似,由微分中值定理知,可微函数 f(x)在这两点的函数值只差满足:
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上式反映了函数值绝对误差与自变量绝对误差之间的关系,并且有如下结论:当 | f‘(x)| < 1时,函数值的扰动比自变量的微小变化还要小;而当 |f’(x)| 很大时,自变量的微小变化,将引起函数值较大的扰动,此时,称 x 是函数 f 在绝对误差意义下的坏函数值点。
从1.15式可以推出函数值相对误差与自变量相对误差的联系:
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1.3 舍入误差分析及数值稳定性