《数值分析》-- 拉格朗日插值

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问题

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一、拉格朗日插值基函数

• n=1时一次基函数
  
• 两点线性插值问题
  

• 问题：即已知函数 f(x)在点 x 0 x_0 x0​和 x 1 x_1 x1​点的函数值
  y 0 y_0 y0​=f( x 0 x_0 x0​)， y 1 y_1 y1​=f( x 1 x_1 x1​).
  求线性函数 L 1 L_1 L1​(x)= a 0 a_0 a0​+ a 1 a_1 a1​x
  使满足条件： L 1 L_1 L1​( x 0 x_0 x0​)= y 0 y_0 y0​, L 1 L_1 L1​( x 1 x_1 x1​)= y 1 y_1 y1​

①：把x= x 0 x_0 x0​带入 L 1 L_1 L1​(x)中， L 1 ( x 0 ) L_1(x_0) L1​(x0​) = y 0 y_0 y0​ + 0 = y 0 y_0 y0​
②：把x= x 1 x_1 x1​带入 L 1 L_1 L1​(x)中， L 1 L_1 L1​( x 1 x_1 x1​) = y 0 y_0 y0​ + ( y 1 y_1 y1​- y 0 y_0 y0​)( x 1 x_1 x1​- x 0 x_0 x0​) / ( x 1 x_1 x1​- x 0 x_0 x0​) = y 0 y_0 y0​ + y 1 y_1 y1​ - y 0 y_0 y0​ = y 1 y_1 y1​

则称 l 0 l_0 l0​(x)叫做点 x 0 x_0 x0​的一次插值基函数， l 1 l_1 l1​(x)叫
做点 x 1 x_1 x1​的一次插值基函数

当x= x 0 x_0 x0​时， l 0 l_0 l0​=1; x= x 1 x_1 x1​时， l 0 l_0 l0​=0;
当x= x 0 x_0 x0​时， l 1 l_1 l1​=0; x= x 1 x_1 x1​时， l 1 l_1 l1​=1;

• n=2时二次基函数
  

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二、拉格朗日插值多项式

对上述举例：

begin---------------------------------------------

• n=1时
  

①：把x= x 0 x_0 x0​带入 L 1 L_1 L1​(x)中，L1(x0) = y 0 y_0 y0​ + 0 = y 0 y_0 y0​
②：把x= x 1 x_1 x1​带入 L 1 L_1 L1​(x)中，L1(x1) = y 0 y_0 y0​ + ( y 1 y_1 y1​- y 0 y_0 y0​)( x 1 x_1 x1​- x 0 x_0 x0​) / ( x 1 x_1 x1​- x 0 x_0 x0​) = y 0 y_0 y0​ + y 1 y_1 y1​ - y 0 y_0 y0​ = y 1 y_1 y1​
③：由此推广到 L n L_n Ln​(x)的多项式, L n L_n Ln​( x j x_j xj​) = y j y_j yj​ j=0,1,2,…,n

end-----------------------------------------------

再由插值多项式的唯一性: P n P_n Pn​( x) = L n L_n Ln​( x）

特别地:
当 n =1时又叫线性插值,其几何意义为过两点的直线.
当 n =2时又叫抛物（线）插值, 其几何意义为过三点的抛物线.

• 注意
  
  习题

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三、n次Lagrange插值多项式余项

截断误差 R n ( x ) R_n(x) Rn​(x)=f(x) - L n L_n Ln​(x)也称为n次Lagrange插值多项式的余项。

• 拉格朗日余项定理
  

ω n \omega_n ωn​ + _+ +​ 1 _1 1​( x x x) = ( x x x- x 0 x_0 x0​)( x x x- x 1 x_1 x1​)( x x x- x 2 x_2 x2​)…( x x x- x n x_n xn​)
由给定条件可知 R n ( x ) R_n(x) Rn​(x)在节点 x k x_k xk​( k k k=0,1,…,n)上为0，即 R n ( x ) R_n(x) Rn​(x) = 0 ( k k k=0,1,…,n)
插值节点 x i x_i xi​ 上误差等于零

• 截断误差限⭐（求误差会用到该公式）
  
• 结论例题⭐
  
  习题

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习题

• 例题

1. 
   
2. 
   
   

• 例题

1. 
   

1. 
   
   
   
   
   
   

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总结

• 拉格朗日插值的优缺点
  

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