插值，不论在数学中的数值分析中，还是在我们实际生产生活中，都不难发现它的身影，比如造船业和飞机制造业中的三次样条曲线。那么，什么是插值呢？我们可以先看一下插值的定义，如下：
（定义）如果对于每个
1
≤
i
≤
n
,
P
(
x
i
)
=
y
i
1 \leq i \leq n,P(x_{i})=y_{i}
1≤i≤n,P(xi)=yi,则称函数
y
=
P
(
x
)
y=P(x)
y=P(x)插值数据点
(
x
1
,
y
1
)
,
.
.
.
,
(
x
n
,
y
n
)
(x_{1},y_{1}),...,(x_{n},y_{n})
(x1,y1),...,(xn,yn).
插值的定义无疑是清楚明了的，而在众多的数学函数中，多项式无疑是最简单，最常见的函数，关于它的理论研究也最为透彻。因此，我们可以不妨先考虑利用多项式来进行插值。那么，这样的多项式是否总是存在呢？答案是肯定的，因为我们有如下定理：
（多项式插值定理）令
(
x
1
,
y
1
)
,
.
.
.
,
(
x
n
,
y
n
)
(x_{1},y_{1}),...,(x_{n},y_{n})
(x1,y1),...,(xn,yn)是平面中的
n
n
n个点，各
x
i
x_{i}
xi互不相同。则有且仅有一个
n
−
1
n-1
n−1次或者更低的多项式
P
P
P满足
P
(
x
i
)
=
y
i
,
i
=
1
,
2
,
.
.
.
,
n
.
P(x_{i})=y_{i},i=1,2,...,n.
P(xi)=yi,i=1,2,...,n.
**证明:**先用归纳法证明存在性，再证明唯一性。
当
n
=
1
n=1
n=1时，常函数(0次)
P
1
(
x
)
=
y
1
P_{1}(x)=y_{1}
P1(x)=y1即符合要求。假设当
n
−
1
n-1
n−1时存在一个次数
≤
n
−
2
\leq n-2
≤n−2的多项式
P
n
−
1
P_{n-1}
Pn−1,使得
P
n
−
1
(
x
i
)
=
y
i
,
i
=
1
,
2
,
.
.
.
,
n
−
1.
P_{n-1}(x_{i})=y_{i},i=1,2,...,n-1.
Pn−1(xi)=yi,i=1,2,...,n−1.则令
P
n
(
x
)
=
P
n
−
1
(
x
)
+
c
(
x
−
x
1
)
(
x
−
x
2
)
.
.
.
(
x
−
x
n
−
1
)
(
x
−
x
n
)
P_{n}(x)=P_{n-1}(x)+c(x-x_{1})(x-x_{2})...(x-x_{n-1})(x-x_{n})
Pn(x)=Pn−1(x)+c(x−x1)(x−x2)...(x−xn−1)(x−xn)，其中
c
c
c为待定系数，利用
P
n
(
x
n
)
=
y
n
P_{n}(x_{n})=y_{n}
Pn(xn)=yn即可求出待定系数
c
c
c.此时，
P
n
(
x
i
)
=
y
i
,
i
=
1
,
2
,
.
.
.
,
n
,
P_{n}(x_{i})=y_{i},i=1,2,...,n,
Pn(xi)=yi,i=1,2,...,n,且
P
n
(
x
)
P_{n}(x)
Pn(x)的次数
≤
n
−
1
\leq n-1
≤n−1.这样就证明了存在性。
其次证明唯一性。假设存在两个这样的多项式，设为
P
(
x
)
P(x)
P(x)和
Q
(
x
)
Q(x)
Q(x)，它们次数
≤
n
−
1
\leq n-1
≤n−1且都插值经过
n
n
n个点，即
P
(
x
i
)
=
Q
(
x
i
)
=
y
i
,
i
=
1
,
2
,
.
.
.
,
n
.
P(x_{i})=Q(x_{i})=y_{i},i=1,2,...,n.
P(xi)=Q(xi)=yi,i=1,2,...,n.令
H
(
x
)
=
P
(
x
)
−
Q
(
x
)
H(x)=P(x)-Q(x)
H(x)=P(x)−Q(x),
H
H
H的次数也
≤
n
−
1
\leq n-1
≤n−1，且有
n
n
n个不同的根
x
1
,
x
2
,
.
.
.
,
x
n
x_{1},x_{2},...,x_{n}
x1,x2,...,xn.因此，由多项式基本定理可知，
H
(
x
)
H(x)
H(x)为0多项式，即恒等于0，故有
P
(
x
)
=
Q
(
x
)
P(x)=Q(x)
P(x)=Q(x).这样就证明了存在性。
证毕。
有了以上定理，我们可以放心地使用多项式进行插值，同时，通过上述定理，我们可以用归纳法来构造此多项式，但是，这样的方法难免复杂麻烦。于是，天才的法国数学家拉格朗日（Lagrange）创造性地发明了一种实用的插值多项式方法来解决这个问题，那么，他的方法是怎么样的？
一般来说，如果我们有
n
n
n个点
(
x
1
,
y
1
)
,
.
.
.
,
(
x
n
,
y
n
)
(x_{1},y_{1}),...,(x_{n},y_{n})
(x1,y1),...,(xn,yn)，各
x
i
x_{i}
xi互不相同。对于1到n之间的每个
k
k
k，定义
n
−
1
n-1
n−1次多项式
L
k
(
x
)
=
(
x
−
x
1
)
.
.
(
x
−
x
k
−
1
)
(
x
−
x
k
+
1
)
.
.
.
(
x
−
x
n
)
(
x
k
−
x
1
)
.
.
(
x
k
−
x
k
−
1
)
(
x
k
−
x
k
+
1
)
.
.
.
(
x
k
−
x
n
)
L_{k}(x) = \frac{(x-x_{1})..(x-x_{k-1})(x-x_{k+1})...(x-x_{n})}{(x_{k}-x_{1})..(x_{k}-x_{k-1})(x_{k}-x_{k+1})...(x_{k}-x_{n})}
Lk(x)=(xk−x1)..(xk−xk−1)(xk−xk+1)...(xk−xn)(x−x1)..(x−xk−1)(x−xk+1)...(x−xn)
L
k
(
x
)
L_{k}(x)
Lk(x)具有有趣的性质：
L
k
(
x
k
)
=
1
,
L
k
(
x
j
)
=
0
,
j
≠
k
.
L_{k}(x_{k})=1,L_{k}(x_{j})=0,j\neq k.
Lk(xk)=1,Lk(xj)=0,j=k.然后定义一个
n
−
1
n-1
n−1次多项式
P
n
−
1
(
x
)
=
y
1
L
1
(
x
)
+
.
.
.
+
y
n
L
n
(
x
)
.
P_{n-1}(x)=y_{1}L_{1}(x)+...+y_{n}L_{n}(x).
Pn−1(x)=y1L1(x)+...+ynLn(x).
这样的多项式
P
n
−
1
(
x
)
P_{n-1}(x)
Pn−1(x)满足
P
n
−
1
(
x
i
)
=
y
i
,
i
=
1
,
2
,
.
.
.
,
n
.
P_{n-1}(x_{i})=y_{i},i=1,2,...,n.
Pn−1(xi)=yi,i=1,2,...,n.这就是著名的拉格朗日插值多项式！
以上就是拉格朗日插值多项式的理论介绍部分，接下来我们就要用Python中的Sympy模块来实现拉格朗日插值多项式啦~~
实现拉格朗日插值多项式的Python代码如下：
from sympy import *
def Lagrange_interpolation(keys, values):
x = symbols('x')
t = len(keys)
ploy = []
for i in range(t):
lst = ['((x-'+str(_)+')/('+str(keys[i])+'-'+str(_)+'))' for _ in keys if _ != keys[i]]
item = '*'.join(lst)
ploy.append(str(values[i])+'*'+item)
ploy = '+'.join(ploy)
return factor(expand(ploy))
def main():
#example 1, interpolate a line
x_1 = [1,2]
y_1 = [3,5]
if len(x_1) != len(y_1):
print('The lengths of two list are not equal!')
else:
print('Lagrange_interpolation polynomials is:')
print(Lagrange_interpolation(x_1,y_1))
#example 2, interpolate a parabola
x_2 = [0,2,3]
y_2 = [1,2,4]
if len(x_2) != len(y_2):
print('The lengths of two list are not equal!')
else:
print('Lagrange_interpolation polynomials is:')
print(Lagrange_interpolation(x_2,y_2))
#example 3
x_3 = [0,1,2,3]
y_3 = [2,1,0,-1]
if len(x_3) != len(y_3):
print('The lengths of two list are not equal!')
else:
print('Lagrange_interpolation polynomials is:')
print(Lagrange_interpolation(x_3,y_3))
main()
函数Lagrange_interpolation()具体实现了拉格朗日插值多项式，参数(keys, values)为list形式的点对，在main()函数中举了三个Lagrange_interpolation()函数的应用实例，一个是插值两个点，即直线，一个是插值三个点，即抛物线，一个是插值四个点，但结果却是一次多项式。该程序的运行结果如下：
接下来，我们将介绍一个拉格朗日插值多项式的应用，即求 $$1^{k}+2^{k}+...+x^{k}$$ 的求和公式，其中$x,k$为正整数。分析如下: 首先，该求和公式应当是一个至多为k+1次的关于$x$的多项式。然后，我们可以通过取k+2个不同的点，利用拉格朗日插值多项式的办法来求解，这k+2个不同的点的横坐标可以取$x=1,2,...,k+2$,在求出其对应的纵坐标的值。 以下代码分别求出$k=1,2,...,50$的求和公式，并将其插入到Redis中。 ```python from sympy import * import redis
def Lagrange_interpolation(keys, values):
x = symbols(‘x’)
t = len(keys)
ploy = []
for i in range(t):
lst = [‘((x-’+str()+‘)/(’+str(keys[i])+‘-’+str()+‘))’ for _ in keys if _ != keys[i]]
item = ‘‘.join(lst)
ploy.append(str(values[i])+’’+item)
ploy = ‘+’.join(ploy)
return factor(expand(ploy))
def degree_of_sum(k):
x_list, y_list = [], []
degree = k # degree=k in expression of 1k+2k+…+x^{k}
cul_sum = 0
for i in range(1,degree+3):
x_list.append(i)
cul_sum += i**degree
y_list.append(cul_sum)
return Lagrange_interpolation(x_list,y_list)
def main():
r = redis.Redis(host=‘localhost’, port=6379,db=0)
for k in range(1,51):
expression = str(degree_of_sum(k))
r.hset(‘sum_%s’%k,‘degree’,str(k))
r.hset(‘sum_%s’%k,‘expression’,expression)
print(‘Degree of %d inserted!’%k)
main()
运行以上程序，结果如下：
<center>
</center>
在Redis中的储存结果如下：
<center>
</center>
我们可以具体查看当$k=2$时的求和公式，如下：
<center>
</center>
  这样我们就介绍完了一个拉格朗日插值多项式的应用了。看了上面的介绍，聪明又机智的你是否能想到更多拉格朗日插值多项式的应用呢？欢迎大家交流哦~~
  新的一年，新的气象，就从这一篇开始~
***注意：***本人现已开通微信公众号： NLP奇幻之旅（微信号为：easy_web_scrape）， 欢迎大家关注哦~~
