Pixhawk之姿态解算篇（2）_mahony算法分析

一、开篇

        还是没能进入到源码部分研究，对姿态解算过程太过于模糊，所以主要开始研究一下关于姿态解算的过程和实现，本篇博文主要是以mahony的算法为基础理解姿态解算的过程，主要参考的论文就是William Premerlani and Paul Bizard的关于DCM的一篇经典论文《Direction Cosine Matrix IMU_Theory》，一定要搞透这篇论文，没看过它都不敢称自己研究过飞控算法；然后接下来还有madgwick和mahony的论文需要研究，看英文的比较费时间，但是还是得慢慢的啃啊~~~

        然后就是结合国内的一本很不错的书籍《捷联惯性导航技术》，不需要细看，只需要了解其中关于姿态解算部分的即可。国内的课本嘛，大家都懂的，恨不得手把手的教你了。国外的论文就不一样了，继续啃吧。

二、版权声明

博主：summer

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三、实验平台

Software Version：ArduCopter（Ver_3.3）

Hardware Version：pixhawk

IDE：eclipse Juno （Windows）

1、 陀螺仪和加速计（特性分析）

1）陀螺仪

         Gyro sensitivity、 operating range、offset、drift、calibrationandsaturation must be taken into account in the implementation of DCM。

灵敏度

        测量角速度，具有高动态特性，它是一个间接测量角度的器件其中一个关键参数就是gyro sensitivity（其单位是millivolts per degree persecond，把转速转换到电压值），测量范围越小气灵敏度越好。也就是说测量的是角度的导数，即角速度，要将角速度对时间积分才能得到角度。陀螺仪就是内部有一个陀螺，它的轴由于陀螺效应始终与初始方向平行，这样就可以通过与初始方向的偏差计算出旋转方向和角度。

偏移

        偏移就是在陀螺没有转动的时候却又输出，这个输出量的大小和供电电压以及温度有关，该偏移可以在陀螺仪上电时通过一小段时间的测量来修正。

漂移
        它是由于在时间的积累下偏移和噪声相互影响的结果，例如有一个偏置（offset）0.1dps加在上面，于是测量出来是0.1dps，积分一秒之后，得到的角度是0.1度，1分钟之后是6度，还能忍受，一小时之后是360度，转了一圈，也就是说，陀螺仪在短时间内有很大的参考价值。
白噪声
        电信号的测量中，一定会带有白噪声，陀螺仪数据的测量也不例外。所以获得的陀螺仪数据中也会带有白噪声，而且这种白噪声会随着积分而累加。
积分误差
        对陀螺仪角速度的积分是离散的，长时间的积分会出现漂移的情况。所以要考虑积分误差的问题。

溢出

        就是转速超过了其测量的最大转速范围。关于这个问题的解决办法，在DCM IMU:Theory中给出来三种解决办法，不写了。

2）加速度计
         加速度计的低频特性好，可以测量低速的静态加速度。在无人机上就是对重力加速度g的测量和分析。当把加速度计拿在手上随意转动时，看的是重力加速度在三个轴上的分量值。加速度计在自由落体时，其输出为0。为什么会这样呢？这里涉及到加速度计的设计原理：加速度计测量加速度是通过比力来测量(比力方程，秦永元的书中有介绍)，而不是通过加速度。加速度计仅仅测量的是重力加速度,而重力加速度与刚才所说的R坐标系（EarthFrame）是固连的,通过这种关系,可以得到加速度计所在平面与地面的角度关系。

        加速度计仅仅测量的是重力加速度，3轴加速度计输出重力加速度在加速度计所在机体坐标系3个轴上的分量大小。重力加速度的方向和大小是固定的。通过这种关系，可以得到加速度计所在平面与地面的角度关系。加速度计若是绕着重力加速度的轴转动，则测量值不会改变，也就是说加速度计无法感知这种水平旋转。

3）磁传感器

        可以测量磁场，在没有其他磁场的情况下，仅仅测量的是地球的磁场，而地磁也是和R坐标系固连的，通过这种关系，可以得到平面A和地平面的关系。(平面A：和磁场方向垂直的平面)，同样的，若是沿着磁场方向的轴旋转，测量值不会改变，无法感知这种旋转。

        综合考虑，加速度计和磁传感器都是极易受外部干扰的传感器，都只能得到2维的角度关系，但是测量值随时间的变化相对较小，结合加速度计和磁传感器可以得到3维的角度关系。陀螺仪可以积分得到三维的角度关系，动态性能好，受外部干扰小，但测量值随时间变化比较大。可以看出，它们优缺点互补，结合起来才能有好的效果。

4）关于数据融合

        现在有了三个传感器，都能在一定程度上测量角度关系，但是究竟相信谁？根据刚才的分析，应该是在短时间内更加相信陀螺仪，隔三差五的问问加速度计和磁传感器，角度飘了多少了？有一点必须非常明确，陀螺仪才是主角，加速度计和磁传感器仅仅是跑龙套的。其实加速度计无法对航向角进行修正，修正航向角需要磁力计。

五、正文

1、首先就是基于mahony算法的AHRS姿态解算的一套源码，理论基础是DCM IMU:Theory，很有参考价值。先自己分析一下，看看每一行具体是做什么的，是如何实现姿态解算和修正的。然后会给出相应的分析

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1.    /*  
2.     *AHRS  
3.    */  
4.    // AHRS.c  
5.    // Quaternion implementation of the 'DCM filter' [Mayhony et al]. Incorporates the magnetic distortion  
6.    // compensation algorithms from my filter [Madgwick] which eliminatesthe need for a reference  
7.    // direction of flux (bx bz) to be predefined and limits the effect ofmagnetic distortions to yaw  
8.    // axis only.  
9.    // User must define 'halfT' as the (sample period / 2), and the filtergains 'Kp' and 'Ki'.  
10.    // Global variables 'q0', 'q1', 'q2', 'q3' are the quaternion elementsrepresenting the estimated  
11.    // orientation.  See my report foran overview of the use of quaternions in this application.  
12.    // User must call 'AHRSupdate()' every sample period and parsecalibrated gyroscope ('gx', 'gy', 'gz'),  
13.    // accelerometer ('ax', 'ay', 'ay') and magnetometer ('mx', 'my', 'mz')data.  Gyroscope units are  
14.    // radians/second, accelerometer and magnetometer units are irrelevantas the vector is normalised.                                  
15.    #include "stm32f10x.h"  
16.    #include "AHRS.h"  
17.    #include "Positioning.h"  
18.    #include <math.h>  
19.    #include <stdio.h>  
20. /* Private define------------------------------------------------------------*/  
21.    #define Kp 2.0f                       // proportional gain governs rate of convergence toaccelerometer/magnetometer  
22.     #define Ki 0.005f          // integral gain governs rate of convergenceof gyroscope biases  
23.     #define halfT 0.0025f      // half the sample period    
24.    #define ACCEL_1G 1000    //theacceleration of gravity is: 1000 mg  
25. /* Private variables---------------------------------------------------------*/  
26.    static float q0 = 1, q1 = 0, q2 = 0, q3 = 0;        // quaternion elements representing theestimated orientation  
27.    static float exInt = 0, eyInt = 0, ezInt = 0;        // scaled integral error  
28. /* Public variables----------------------------------------------------------*/  
29.    EulerAngle_Type EulerAngle;       //unit: radian  
30.     u8InitEulerAngle_Finished = 0;  
31.    float Magnetoresistor_mGauss_X = 0, Magnetoresistor_mGauss_Y = 0,Magnetoresistor_mGauss_Z = 0;//unit: milli-Gauss                                                                                                                                                                                                        
32.    float Accelerate_mg_X, Accelerate_mg_Y, Accelerate_mg_Z;//unit: mg                                                                
33.    float AngularRate_dps_X, AngularRate_dps_Y, AngularRate_dps_Z;//unit:dps: degree per second         
34.    int16_t Magnetoresistor_X, Magnetoresistor_Y, Magnetoresistor_Z;                                                                                                                                                                                                        
35.    uint16_t Accelerate_X = 0, Accelerate_Y = 0, Accelerate_Z = 0;                                                                                                                                                                                                
36.    uint16_t AngularRate_X = 0, AngularRate_Y = 0, AngularRate_Z = 0;  
37.    u8 Quaternion_Calibration_ok = 0;  
38.    /* Private macro-------------------------------------------------------------*/  
39.    /* Private typedef-----------------------------------------------------------*/  
40.    /* Private function prototypes -----------------------------------------------*/  
41. /******************************************************************************  
42.     *Function Name  : AHRSupdate  
43.     *Description    : None  
44.     *Input          : None  
45.     *Output         : None  
46.     *Return         : None  
47. *******************************************************************************  
48.    void AHRSupdate(float gx, float gy, float gz, float ax, float ay, floataz, float mx, float my, float mz) {  
49.            float norm;  
50.            float hx, hy, hz, bx, bz;  
51.            float vx, vy, vz, wx, wy, wz;   
52.            float ex, ey, ez;  
53.    
54.            // auxiliary variables to reduce number of repeated operations  
55.            float q0q0 = q0*q0;  
56.            float q0q1 = q0*q1;  
57.            float q0q2 = q0*q2;  
58.             float q0q3 = q0*q3;  
59.            float q1q1 = q1*q1;  
60.            float q1q2 = q1*q2;  
61.            float q1q3 = q1*q3;  
62.            float q2q2 = q2*q2;  
63.            float q2q3 = q2*q3;  
64.            float q3q3 = q3*q3;  
65.             
66.            // normalise the measurements  
67.            norm = sqrt(ax*ax + ay*ay + az*az);  
68.            ax = ax / norm;  
69.            ay = ay / norm;  
70.            az = az / norm;  
71.            norm = sqrt(mx*mx + my*my + mz*mz);  
72.            mx = mx / norm;  
73.             my = my / norm;  
74.            mz = mz / norm;  
75.             
76.            // compute reference direction of magnetic field  
77.            hx = 2*mx*(0.5 - q2q2 - q3q3) + 2*my*(q1q2 - q0q3) + 2*mz*(q1q3 + q0q2);  
78.            hy = 2*mx*(q1q2 + q0q3) + 2*my*(0.5 - q1q1 - q3q3) + 2*mz*(q2q3 - q0q1);  
79.            hz = 2*mx*(q1q3 - q0q2) + 2*my*(q2q3 + q0q1) + 2*mz*(0.5 - q1q1 -q2q2);          
80.            bx = sqrt((hx*hx) + (hy*hy));  
81.            bz = hz;  
82.             
83. // estimated direction of gravity and magnetic field (v and w)  
84.            vx = 2*(q1q3 - q0q2);  
85.            vy = 2*(q0q1 + q2q3);  
86.            vz = q0q0 - q1q1 - q2q2 + q3q3;  
87.            wx = 2*bx*(0.5 - q2q2 - q3q3) + 2*bz*(q1q3 - q0q2);  
88.            wy = 2*bx*(q1q2 - q0q3) + 2*bz*(q0q1 + q2q3);  
89.            wz = 2*bx*(q0q2 + q1q3) + 2*bz*(0.5 - q1q1 - q2q2);   
90.             
91. // error is sum ofcross product between reference direction of fields and directionmeasured by sensors   
92.            ex = (ay*vz - az*vy) + (my*wz - mz*wy);  
93.            ey = (az*vx - ax*vz) + (mz*wx - mx*wz);  
94.            ez = (ax*vy - ay*vx) + (mx*wy - my*wx);  
95.             
96.            // integral error scaled integral gain  
97.            exInt = exInt + ex*Ki* (1.0f / sampleFreq);  
98.            eyInt = eyInt + ey*Ki* (1.0f / sampleFreq);  
99.            ezInt = ezInt + ez*Ki* (1.0f / sampleFreq);  
100.            // adjusted gyroscope measurements  
101.            gx = gx + Kp*ex + exInt;  
102.            gy = gy + Kp*ey + eyInt;  
103.            gz = gz + Kp*ez + ezInt;  
104.             
105.            // integrate quaternion rate and normalize  
106.            q0 = q0 + (-q1*gx - q2*gy - q3*gz)*halfT;  
107.            q1 = q1 + (q0*gx + q2*gz - q3*gy)*halfT;  
108.            q2 = q2 + (q0*gy - q1*gz + q3*gx)*halfT;  
109.            q3 = q3 + (q0*gz + q1*gy - q2*gx)*halfT;   
110.             
111.            // normalise quaternion  
112.            norm = sqrt(q0*q0 + q1*q1 + q2*q2 + q3*q3);  
113.            q0 = q0 / norm;  
114.            q1 = q1 / norm;  
115.            q2 = q2 / norm;  
116.            q3 = q3 / norm;  
117. }  

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1. //陀螺仪、加速度计、磁力计数据融合  
2.     void AHRSupdate(float gx, float gy, float gz, float ax, float ay, float az, float mx, float my, float mz) {  
3.             float norm;  
4.             float hx, hy, hz, bx, bz;  
5.             float vx, vy, vz, wx, wy, wz; //v*当前姿态计算得来的重力在三轴上的分量  
6.             float ex, ey, ez;  
7.   
8.             // auxiliary variables to reduce number of repeated operations  
9.             float q0q0 = q0*q0;  
10.             float q0q1 = q0*q1;  
11.             float q0q2 = q0*q2;  
12.             float q0q3 = q0*q3;  
13.             float q1q1 = q1*q1;  
14.             float q1q2 = q1*q2;  
15.             float q1q3 = q1*q3;  
16.             float q2q2 = q2*q2;  
17.             float q2q3 = q2*q3;  
18.             float q3q3 = q3*q3;  
19.              
20.             // normalise the measurements  
21.             norm = sqrt(ax*ax + ay*ay + az*az);   
22.             ax = ax / norm;  
23.             ay = ay / norm;  
24.             az = az / norm;  
25.             norm = sqrt(mx*mx + my*my + mz*mz);   
26.             mx = mx / norm;  
27.             my = my / norm;  
28.             mz = mz / norm;  
29.              
30.             // compute reference direction of magnetic field  
31.             hx = 2*mx*(0.5 - q2q2 - q3q3) + 2*my*(q1q2 - q0q3) + 2*mz*(q1q3 + q0q2);  
32.             hy = 2*mx*(q1q2 + q0q3) + 2*my*(0.5 - q1q1 - q3q3) + 2*mz*(q2q3 - q0q1);  
33.             hz = 2*mx*(q1q3 - q0q2) + 2*my*(q2q3 + q0q1) + 2*mz*(0.5 - q1q1 - q2q2);           
34.             bx = sqrt((hx*hx) + (hy*hy));  
35.             bz = hz;   
36.              
37. // estimated direction of gravity and magnetic field (v and w)   
38. //参考坐标n系转化到载体坐标b系的用四元数表示的方向余弦矩阵第三列即是。  
39.         //处理后的重力分量  
40.             vx = 2*(q1q3 - q0q2);  
41.             vy = 2*(q0q1 + q2q3);  
42.             vz = q0q0 - q1q1 - q2q2 + q3q3;  
43. //处理后的mag，反向使用DCM得到  
44.             wx = 2*bx*(0.5 - q2q2 - q3q3) + 2*bz*(q1q3 - q0q2);  
45.             wy = 2*bx*(q1q2 - q0q3) + 2*bz*(q0q1 + q2q3);  
46.             wz = 2*bx*(q0q2 + q1q3) + 2*bz*(0.5 - q1q1 - q2q2);    
47.              
48. // error is sum of cross product between reference direction of fields and direction measured by sensors 体现在加速计补偿和磁力计补偿，因为仅仅依靠加速计补偿没法修正Z轴的变差，所以还需要通过磁力计来修正Z轴。（公式28）。《四元数解算姿态完全解析及资料汇总》的作者把这部分理解错了，不是什么叉积的差，而叉积的计算就是这样的。计算方法是公式10。  
49.             ex = (ay*vz - az*vy) + (my*wz - mz*wy);  
50.             ey = (az*vx - ax*vz) + (mz*wx - mx*wz);  
51.             ez = (ax*vy - ay*vx) + (mx*wy - my*wx);  
52.              
53.             // integral error scaled integral gain   
54.             exInt = exInt + ex*Ki* (1.0f / sampleFreq);  
55.             eyInt = eyInt + ey*Ki* (1.0f / sampleFreq);  
56.             ezInt = ezInt + ez*Ki* (1.0f / sampleFreq);  
57.             // adjusted gyroscope measurements  
58. //将误差PI后补偿到陀螺仪，即补偿零点漂移。通过调节Kp、Ki两个参数，可以控制加速度计修正陀螺仪积分姿态的速度。（公式16和公式29）  
59.             gx = gx + Kp*ex + exInt;  
60.             gy = gy + Kp*ey + eyInt;  
61.             gz = gz + Kp*ez + ezInt;  
62.              
63.             // integrate quaternion rate and normalize  
64.  //一阶龙格库塔法更新四元数  
65.             q0 = q0 + (-q1*gx - q2*gy - q3*gz)*halfT;  
66.             q1 = q1 + (q0*gx + q2*gz - q3*gy)*halfT;  
67.             q2 = q2 + (q0*gy - q1*gz + q3*gx)*halfT;  
68.             q3 = q3 + (q0*gz + q1*gy - q2*gx)*halfT;    
69.              
70.             // normalise quaternion  
71.             norm = sqrt(q0*q0 + q1*q1 + q2*q2 + q3*q3);  
72.             q0 = q0 / norm;  
73.             q1 = q1 / norm;  
74.             q2 = q2 / norm;  
75.             q3 = q3 / norm;  
76. }  

        1）无人机控制中，主要就是姿态解算和姿态控制部分，该部分主要介绍姿态解算，下面是来一张比较好理解的框图。

        由上面两幅图很容易理解整个控制和姿态解算了吧，在第四部分也介绍了关于陀螺仪、加速计、磁力计它们的作用，所以不再单独介绍了。不理解的往上翻翻再看看吧。

        2）在姿态解算过程中，到底用什么表示无人机的姿态呢？姿态表示的方法有很多种，比如欧拉角、四元数、DCM，各有的各的优势，比较常用的就是四元数，方便计算。上面的姿态解算算法也是基于四元数的。下面介绍一个它们三个的优缺点。

姿态解算方法的比较：

        首先，东北天坐标系是n系（地理坐标系，参考坐标系），载体坐标系是b系，就是我们飞行器的坐标系。对于四元数法的姿态解算，需要求取的就是四元数的值；方向余弦矩阵（用于表示n系和b系的相对关系）中的元素本来应该是三角函数，这里由于使用四元数法，所以矩阵中的元素就成了四元数。所以姿态解算的任务就是求解由四元数构成的方向余弦矩阵nCb（nCb表示从b系到n的转换矩阵，同理，bCn表示从n系到b的转换矩阵，它们的关系是转置）。

        显然，上述矩阵是有误差存在的。对于一个确定的向量n，用不同的坐标系表示时，他们所表示的大小和方向一定是相同的。但是由于这两个坐标系的转换矩阵存在误差，那么当一个向量经过这么一个有误差存在的旋转矩阵变换后，在另一个坐标系中肯定和理论值是有偏差的，我们通过这个偏差来修正这个旋转矩阵。这个旋转矩阵的元素是四元数，这就是说修正的就是四元数，于是乎姿态就这样被修正了，这才是姿态解算的原理。姿态解算求的是四元数，是通过修正旋转矩阵中的四元数来达到姿态解算的目的，而不要以为通过加速度计和地磁计来修正姿态，加速度计和地磁计只是测量工具和载体，通过这两个器件表征旋转矩阵的误差存在，然后通过算法修正误差，修正四元数，修正姿态。

加速度计修正pitch_roll

        加速度计可以修正pitch_roll，但是我们必须要考虑离心加速度（centrifugalacceleration），离心加速度就等于旋转率向量（即gyro vector）和速度向量的叉积（没有原因，平均得来的并且还相当准确，速度可以用GPS获取）。我们假设飞机方向和X轴平行。

        在机体上测得的重力的为：

        Pitch_roll的旋转修正向量是由DCM的Z行与归一化以后的重力参考向量的叉积。

        在n系中，加速度计输出为，经过bCn（用四元数表示的转换矩阵）转换之后到b系中的值为；在b系中，加速度计的测量值为，现在和均表示在b系中的竖直向下的向量，由此，我们来做向量积（叉积），得到误差，利用这个误差来修正bCn矩阵，于是四元数就在这样一个过程中被修正了。但是，由于加速度计无法感知z轴上的旋转运动，所以还需要用地磁计来进一步补偿。

        加速度计在静止时测量的是重力加速度，是有大小和方向的；同理，地磁计同样测量的是地球磁场的大小和方向，只不过这个方向不再是竖直向下，而是与x轴（或者y轴）呈一个角度，与z轴呈一个角度。记作，假设x轴对准北边，所以by=0，即。倘若知道bx和bz的精确值，那么就可以采用和加速度计一样的修正方法来修正。只不过在加速度计中，在n系中的参考向量是，变成了地磁计的。如果我们知道bx和bz的精确值，那么就可以摆脱掉加速度计的补偿，直接用地磁计和陀螺仪进行姿态解算，但是你看过谁只用陀螺仪和地磁计进行姿态解算吗？没有，因为没人会去测量当地的地磁场相对于东北天坐标的夹角，也就是bx和bz（插曲：关于这个bx和bz的理解：可以对比重力加速度的理解，就像vx vy vz似的，因为在每一处的归一化以后的重力加速度都是0 0 1然后旋转到机体坐标系，而地球每一处的地磁大小都不一样的，不能像重力加速度那样直接旋转得到了，只能用磁力计测量到的数据去强制拟合。）。那么现在怎么办？前面已经讲了，姿态解算就是求解旋转矩阵，这个矩阵的作用就是将b系和n正确的转化直到重合。现在我们假设nCb旋转矩阵是经过加速度计校正后的矩阵，当某个确定的向量（b系中）经过这个矩阵旋转之后（到n系），这两个坐标系在XOY平面上重合（参考DCM IMU:Theory的Drift cancellation部分），只是在z轴旋转上会存在一个偏航角的误差。下图表示的是经过nCb旋转之后的b系和n系的相对关系。可以明显发现加速度计可以把b系通过四元数法从任意角度拉到与n系水平的位置上，此时只剩下一个偏航角误差。这也是为什么加速度计无法修正偏航的原因。

        为什么在word中使用公式编译器编辑的公式没办法复制到CSDN中呢？？？？？？？？？？？？

        此方式在数学上没有任何问题，但是由于地磁传感器极易受到各种干扰，而此算法又将地磁传感器所指示的方向过度的融入到了姿态当中，导致实际使用中数据会非常不稳定。怪不得crazypony的算法中没有使用磁力计修正YAW，这应该就是原因所在吧。

六、来一点ardupilot源码分析

        就理解了一个通过gyro_vector更新DCM的算法，这个应该是在renormalization直接就需要了解，可以前期没理解到底是干嘛的，现在补上；关于renormalization的算法可以参考上一篇博文。

        姿态解算过程中不仅需要修正陀螺仪的各种errors，还需要实时的更新的DCM。上周一直没能理解的一个问题，在AP_AHRS_DCM.cpp中的matrix_update(delta_t)，就是实时更新DCM矩阵的，源码如下，这一部分研究了很久，需要的基础知识比较多。先上源码

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1. // update the DCM matrix using only the gyros  
2. Void AP_AHRS_DCM::matrix_update(float _G_Dt)  
3. {  
4.     _omega.zero();  
5.     // average across first two healthy gyros. This reduces noise on  
6.     // systems with more than one gyro. We don't use the 3rd gyro  
7.     // unless another is unhealthy as 3rd gyro on PH2 has a lot more  
8.     // noise  
9.     uint8_t healthy_count = 0;  
10.     Vector3f delta_angle;  
11.     for (uint8_t i=0; i<_ins.get_gyro_count(); i++) {  
12.         if (_ins.get_gyro_health(i) && healthy_count < 2) {  
13.             Vector3f dangle;  
14.             if (_ins.get_delta_angle(i, dangle)) {  
15.                 healthy_count++;  
16.                 delta_angle += dangle;  
17.             }  
18.         }  
19.     }  
20.     if (healthy_count > 1) {  
21.         delta_angle /= healthy_count;  
22.     }  
23.     if (_G_Dt > 0) {  
24.         _omega = delta_angle / _G_Dt;  
25.         _omega += _omega_I;  
26.         _dcm_matrix.rotate((_omega + _omega_P + _omega_yaw_P) * _G_Dt);  
27.     }  
28. }  

          首先就是通过陀螺仪获取两次gyro_vector，然后取平均以降低误差；然后就是比较专业的算法实现_dcm_matrix.rotate((_omega +_omega_P + _omega_yaw_P) * _G_Dt)了。进入到matrix3.cpp中有rotate()函数，该函数就是实现DCM更新的算法实现，算法主要是用陀螺仪的输出值与DCM矩阵的乘积再加回到DCM中去，处理过程中使用了离散化的概念，即dcm（k+1）=dcm（k）+增量，因为公式里有求导，必须离散化后才能计算机处理，感谢青龙的指导。 

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1. // apply an additional rotation from a body frame gyro vector  
2. // to a rotation matrix.  
3. template <typename T>  
4. void Matrix3<T>::rotate(const Vector3<T> &g)  
5. {  
6.     Matrix3<T> temp_matrix;  
7.     temp_matrix.a.x = a.y * g.z - a.z * g.y;  
8.     temp_matrix.a.y = a.z * g.x - a.x * g.z;  
9.     temp_matrix.a.z = a.x * g.y - a.y * g.x;  
10.     temp_matrix.b.x = b.y * g.z - b.z * g.y;  
11.     temp_matrix.b.y = b.z * g.x - b.x * g.z;  
12.     temp_matrix.b.z = b.x * g.y - b.y * g.x;  
13.     temp_matrix.c.x = c.y * g.z - c.z * g.y;  
14.     temp_matrix.c.y = c.z * g.x - c.x * g.z;  
15.     temp_matrix.c.z = c.x * g.y - c.y * g.x;  
16.   
17.     (*this) += temp_matrix;//增加累加到原始数据上  
18. }