考研数学基础30讲

第1讲 高等数学预备知识

一、函数的概念与特性

1.函数

设x与y是两个变量，D是一个给定的数集，若对于每个值x ∈ \in ∈D，按照一定的法则f，有一个确定的值y与之对应，则称y为x的函数，记作 y = f ( x ) y=f(x) y=f(x)。称x为自变量，y为因变量。称数集D为定义域，定义域一般由实际背景中变量的具体意义或函数对应法则的要求确定。

2.反函数

设函数 y = f ( x ) y=f(x) y=f(x)的定义域为D，值域为R。如果对于每一个 y ∈ y\in y∈R，必存在唯一一个x ∈ \in ∈D使得 y = f ( x ) y=f(x) y=f(x)成立，则由此定义了一个新函数x= φ \varphi φ(y),这个函数就称为函数 y = f ( x ) y=f(x) y=f(x)的反函数，一般记作 x = f − 1 ( y ) x=f^{-1}(y) x=f−1(y),它的定义域是R，值域为D。相对于反函数来说，原来的函数也称为**直接函数
**。

• 需要说明两点：
  • 第一，严格单调函数必有反函数。如：函数 y = x 2 y=x^2 y=x2( x ∈ x\in x∈[ 0 , + ∞ 0,+\infty 0,+∞]))是严格单调函数，故它有反函数 x = y x=\sqrt{y} x=y ​。
  • 第二，若把 x = f − 1 ( y ) x=f^{-1}(y) x=f−1(y)与 y = f ( x ) y=f(x) y=f(x)的图形画在同一坐标系，则它们完全重合。只有把 y = f ( x ) y=f(x) y=f(x)的反函数 x = f − 1 ( y ) x=f^{-1}(y) x=f−1(y)写成 y = f − 1 ( x ) y=f^{-1}(x) y=f−1(x)后，它们的图形才关于 y = x y=x y=x对称,事实上这也是字母x与y互换的结果。
• 注意：
  有反函数的函数不一定是单调函数，比如
  f ( x ) = { x , x ≥ 0 , 1 x , x < 0 ​ , f(x) = \begin{cases} x ,&x \geq 0 ,\\ \frac{ 1 }{ x },&x < 0​, \end{cases} f(x)={x,x1​,​x≥0,x<0​,​
  其图像如1-1所示，其反函数即为 f ( x ) f(x) f(x)本身，但 f ( x ) f(x) f(x)不是单调函数。
  
  图 1 − 1 图1-1 图1−1

3.复合函数

设 y = f ( μ ) y=f(\mu) y=f(μ)的定义域为 D 1 D_1 D1​,函数 μ = g ( x ) \mu=g(x) μ=g(x)在D上有定义，且 g ( D ) ⊂ D 1 g(D)\subset D_1 g(D)⊂D1​，则有
y = f [ g ( x ) ] ( x ⊂ D ) y=f[g(x)](x \subset D) y=f[g(x)](x⊂D)
确定的函数，称为由 μ = g ( x ) \mu=g(x) μ=g(x)和 y = f ( μ ) y=f(\mu) y=f(μ)构成的复合函数，它的定义域为D， μ \mu μ称为中间变量，要掌握复合的方法。

4.函数的四种特性

（1）有界性
设 f ( x ) f(x) f(x)的定义域为D，数集 I ∈ D I \in D I∈D。如果存在某个正数M，使得对任意 x ∈ I x \in I x∈I，有 ∣ f ( x ) ∣ ≤ M |f(x)|\leq M ∣f(x)∣≤M，则称 f ( x ) f(x) f(x)在 I I I上有界;如果M不存在，则称 f ( x ) 在 I f(x)在I f(x)在I上无界。

（2）单调性

（3）奇偶性

（4）周期性