问题：

A点（x, y）按顺时针旋转 theta 角度后点的坐标为A1点(x1,y1)  ，求x1 y1坐标用（x，y）和 theta 来表示

方法一：

设 OA 向量和x轴的角度为 alpha ，

那么顺时针转过 theta后 ，OA1 向量和x轴的角度为 (alpha - theta) 。

使用圆的参数方程来表示点坐标。A的坐标可以表示为：

{x=r⋅cosαy=r⋅sinα{x=r⋅cos⁡αy=r⋅sin⁡α

A1的坐标可以表示为（带入A点坐标进行化简）

{x1=r⋅cos(α−θ)=r⋅(cosαcosθ+sinαsinθ)=x⋅cosθ+y⋅sinθy1=r⋅sin(α−θ)=r⋅(sinαcosθ−cosαsinθ)=−x⋅sinθ+y⋅cosθ{x1=r⋅cos⁡(α−θ)=r⋅(cos⁡αcos⁡θ+sin⁡αsin⁡θ)=x⋅cos⁡θ+y⋅sin⁡θy1=r⋅sin⁡(α−θ)=r⋅(sin⁡αcos⁡θ−cos⁡αsin⁡θ)=−x⋅sin⁡θ+y⋅cos⁡θ

写成矩阵形式：

(cosθ−sinθsinθcosθ)(xy)=(x1y1)(cos⁡θsin⁡θ−sin⁡θcos⁡θ)(xy)=(x1y1)

方法二：

点顺时针转，相当于 点不变，让坐标轴逆指针转。

坐标为(x,y),可以看成： 

x值是点表示的向量，与x正轴单位向量的点积。

y值是点表示的向量，与y正轴单位向量的点积。

即在x轴和y轴上，带方向的投影长度。

所以问题等价的转化为： 坐标轴逆时针转了theta，求点在新的坐标系下的坐标。

新的坐标系的x正轴单位向量为（用原来的坐标系来表示）

(cosθ,sinθ)(cos⁡θ,sin⁡θ)

新的坐标系的y正轴单位向量为

(−sinθ,cosθ)(−sin⁡θ,cos⁡θ)

所以

A点新的坐标系下的x值 x1= 点积（A点坐标，新坐标系x正轴单位向量）

A点新的坐标系下的y值 y1= 点积（A点坐标，新坐标系y正轴单位向量）

{x1=x⋅cosθ+y⋅sinθy1=−x⋅sinθ+y⋅cosθ{x1=x⋅cos⁡θ+y⋅sin⁡θy1=−x⋅sin⁡θ+y⋅cos⁡θ

即

(cosθ−sinθsinθcosθ)(xy)=(x1y1)(cos⁡θsin⁡θ−sin⁡θcos⁡θ)(xy)=(x1y1)

总结：

顺时针旋转矩阵为：

(cosθ−sinθsinθcosθ)(cos⁡θsin⁡θ−sin⁡θcos⁡θ)

逆时针旋转矩阵为：（theta 变成 -theta带入即可）

(cosθsinθ−sinθcosθ)(cos⁡θ−sin⁡θsin⁡θcos⁡θ)