1 定义
依分布收敛的定义是这样的：随机变量序列 { X n } n = 1 ∞ \{X_n\}_{n=1}^{\infty} {
Xn}n=1∞，若它们的累积分布函数cdf序列 { F n } n = 1 ∞ \{F_n\}_{n=1}^{\infty} {
Fn}n=1∞，与某个随机变量 X X X的cdf F F F，满足
lim n → ∞ F n ( x ) = F ( x ) \lim_{n\to\infty} F_n(x)=F(x) n→∞limFn(x)=F(x)
在任意 F ( x ) F(x) F(x)的连续点 x x x处都成立。则称它们依分布收敛到随机变量 X X X，记为 X n ⟶ D X X_n\stackrel{D}\longrightarrow X Xn⟶DX。
在这个定义中，有两个极易忽视但又重要的点，一是必须要对应到某个随机变量的cdf，而不是任意一个函数，二是只要求在 F ( x ) F(x) F(x)的连续点处条件成立即可。
接下来，我们分析为何要如此定义。
2 极限函数必须是cdf
考虑 X n ∼ N ( 0 , σ n 2 ) X_n\sim N(0,\sigma_n^2) X
