一、样本空间 & 事件
样本空间
Ω
\Omega
Ω指一个实验的可能结果的集合
ω
∈
Ω
\omega \in \Omega
ω∈Ω称为 样本结果|样本实现|样本元素
Ω
\Omega
Ω的子集被称为事件
对于事件
A
A
A，符号
A
c
A^c
Ac表示它的对于样本空间的补集，即
A
c
=
C
Ω
A
=
{
ω
∈
Ω
,
ω
∉
A
}
A^c=\mathrm C_\Omega A =\{\omega \in \Omega, \omega \notin A\}
Ac=CΩA={ω∈Ω,ω∈/A}
对于单调递增事件序列
A
1
⊂
A
2
⊂
A
2
⋅
⋅
⋅
⊂
A
n
A_1\subset A_2\subset A_2 ··· \subset A_n
A1⊂A2⊂A2⋅⋅⋅⊂An，记
lim
n
→
∞
A
n
=
⋃
i
=
0
∞
A
i
\displaystyle{\lim_{n \to \infty} A_n = \bigcup_{i=0}^\infty A_i}
n→∞limAn=i=0⋃∞Ai
对于单调递减事件序列
A
1
⊃
A
2
⊃
A
2
⋅
⋅
⋅
⊃
A
n
A_1\supset A_2\supset A_2 ··· \supset A_n
A1⊃A2⊃A2⋅⋅⋅⊃An，记
lim
n
→
∞
A
n
=
⋂
i
=
0
∞
A
i
\displaystyle{\lim_{n \to \infty} A_n = \bigcap_{i=0}^\infty A_i}
n→∞limAn=i=0⋂∞Ai
例. 设
Ω
=
R
,
A
i
=
[
0
,
1
i
)
\Omega=\mathbb R,\ A_i=[0, \displaystyle\frac{1}{i})
Ω=R, Ai=[0,i1)，那么有
⋃
i
=
0
∞
A
i
=
[
0
,
1
)
⋂
i
=
0
∞
A
i
=
{
0
}
\bigcup_{i=0}^\infty A_i=[0,1) \quad\quad\quad\quad \bigcap_{i=0}^\infty A_i=\{0\}
i=0⋃∞Ai=[0,1)i=0⋂∞Ai={0}
二、
σ
\sigma
σ域
设
A
\mathscr A
A是样本空间
Ω
\Omega
Ω的子集的集合，如果
A
\mathscr A
A满足以下条件
(
1
)
∅
∈
A
(
2
)
若
A
∈
A
，
则
A
c
∈
A
(
3
)
若
A
i
∈
A
，
则
⋃
i
A
i
∈
A
\begin{aligned} & (1)\ \varnothing \in \mathscr A \\ & (2)\ 若A\in\mathscr A，则A^c\in\mathscr A \\ & (3)\ 若A_i\in\mathscr A，则\bigcup_i A_i\in\mathscr A \end{aligned}
(1) ∅∈A(2) 若A∈A，则Ac∈A(3) 若Ai∈A，则i⋃Ai∈A
那么我们称
A
\mathscr A
A是一个
σ
\sigma
σ域 或
σ
\sigma
σ代数
注意：
σ
\sigma
σ域是集合的集合
例. 设
A
A
A是样本空间
Ω
\Omega
Ω的一个合适非空子集（即
A
≠
∅
,
A
≠
Ω
A \neq \varnothing, A\neq\Omega
A=∅,A=Ω），那么包含
A
A
A的最小
σ
\sigma
σ域是：
A
m
i
n
=
{
∅
,
Ω
,
A
,
A
c
}
\mathscr A_{min} = \{\varnothing, \Omega, A, A^c\}
Amin={∅,Ω,A,Ac}
设
Ω
=
R
\Omega=\mathbb R
Ω=R，
A
\mathscr A
A是包含
R
\mathbb R
R的所有开区间子集的集合的
σ
\sigma
σ域，
那么，称
A
\mathscr A
A为关于
R
\mathbb R
R的Borel域，记为
B
(
R
)
\mathcal B(\mathbb R)
B(R)
三、测度
若
A
\mathscr A
A是由
Ω
\Omega
Ω得出的
σ
\sigma
σ域，那么
(
Ω
,
A
)
(\Omega, \mathscr A)
(Ω,A)二元组称为可测空间，
A
\mathscr A
A中的元素称为可测集
设
(
Ω
,
A
)
(\Omega, \mathscr A)
(Ω,A)是一个可测空间，
μ
\mu
μ是一个定义在
A
\mathscr A
A上的函数，
μ
:
A
⟼
R
\mu: \mathscr A\longmapsto\mathbb R
μ:A⟼R
若
μ
\mu
μ满足：
(
1
)
0
≤
μ
(
A
)
≤
∞
(
2
)
μ
(
∅
)
=
0
(
3
)
若
A
i
∈
A
且
A
i
∩
A
j
=
i
≠
j
∅
，
则
μ
(
⋃
i
A
i
)
=
∑
i
μ
(
A
i
)
\begin{aligned} & (1)\ 0 \le \mu(A) \le \infty \\ & (2)\ \mu(\varnothing) = 0 \\ & (3)\ 若A_i\in\mathscr A且A_i\cap A_j\overset{\mathrm{i\ne j}}{=}\varnothing，则\mu(\bigcup_i A_i)=\sum_i\mu(A_i) \end{aligned}
(1) 0≤μ(A)≤∞(2) μ(∅)=0(3) 若Ai∈A且Ai∩Aj=i=j∅，则μ(i⋃Ai)=i∑μ(Ai)
那么我们称
μ
\mu
μ为测度，
称
(
Ω
,
A
,
μ
)
(\Omega, \mathscr A, \mu)
(Ω,A,μ)为测度空间
特殊地，若
μ
(
Ω
)
=
1
\mu(\Omega)=1
μ(Ω)=1，则称
μ
\mu
μ为概率测度，可记为大
P
\mathrm P
P
称
(
Ω
,
A
,
P
)
(\Omega, \mathscr A, \mathrm P)
(Ω,A,P)为概率空间
