- 期望EX，方差DX
我们知道任一样本和总体是同分布的，所以任一样本的期望即总体期望（均值），任一样本的方差即总体方差。所以对于任一样本X，有：
E
X
=
μ
,
E
(
c
X
)
=
c
E
X
,
E
(
c
)
=
c
D
X
=
E
(
X
−
E
X
)
2
=
E
(
X
2
−
2
X
μ
+
μ
2
)
=
E
X
2
−
μ
2
=
σ
2
D
(
c
)
=
0
,
D
(
c
X
)
=
c
2
D
X
EX = \mu ,E(cX) = cEX,E(c) = c\\DX = E{(X - EX)^2}\\{\rm{ = }}E({X^2} - 2X\mu + {\mu ^2})\\{\rm{ }} = E{X^2} - {\mu ^2} = {\sigma ^2}\\D(c) = 0,D(cX) = {c^2}DX
EX=μ,E(cX)=cEX,E(c)=cDX=E(X−EX)2=E(X2−2Xμ+μ2)=EX2−μ2=σ2D(c)=0,D(cX)=c2DX其中，
μ
,
c
,
σ
2
\mu ,c,{\sigma ^2}
μ,c,σ2均为常数。由于样本是随机选取的，所以这里隐含了一个假设：两个不同的样本X和Y相互独立，此时
E
X
Y
=
E
X
E
Y
EXY = EXEY
EXY=EXEY。
设
X
ˉ
{\bar X}
Xˉ为样本均值，则有：
E
X
ˉ
=
1
n
∑
i
=
1
n
E
X
i
=
μ
,
D
X
ˉ
=
1
n
2
∑
i
=
1
n
D
X
i
=
σ
2
n
D
X
ˉ
=
E
(
X
ˉ
−
E
X
ˉ
)
2
=
E
X
ˉ
2
−
μ
2
E
X
ˉ
2
=
μ
2
+
D
X
ˉ
=
μ
2
+
σ
2
n
E\bar X = \frac{1}{n}\sum\limits_{i = 1}^n {E{X_i}} = \mu ,D\bar X = \frac{1}{{{n^2}}}\sum\limits_{i = 1}^n {D{X_i}} = \frac{{{\sigma ^2}}}{n}\\D\bar X = E{(\bar X - E\bar X)^2} = E{{\bar X}^2} - {\mu ^2}\\E{{\bar X}^2} = {\mu ^2} + D\bar X = {\mu ^2} +\frac{{{\sigma ^2}}}{n}
EXˉ=n1i=1∑nEXi=μ,DXˉ=n21i=1∑nDXi=nσ2DXˉ=E(Xˉ−EXˉ)2=EXˉ2−μ2EXˉ2=μ2+DXˉ=μ2+nσ2设
S
2
=
1
n
∑
i
=
1
n
(
X
i
−
μ
)
2
{S^2} = \frac{1}{n}\sum\limits_{i = 1}^n {{{(X_i - \mu )}^2}}
S2=n1i=1∑n(Xi−μ)2为样本方差，则
E
S
2
=
1
n
∑
i
=
1
n
E
(
X
i
−
μ
)
2
=
σ
2
E{S^2} = \frac{1}{n}\sum\limits_{i = 1}^n {E{{(X_i - \mu )}^2}} = {\sigma ^2}
ES2=n1i=1∑nE(Xi−μ)2=σ2。
- 估计量
我们已经知道样本均值的期望等于总体均值，样本方差的期望等于总体方差。然而，在现实中，样本的总体均值一般难以求得，这就需要求总体的估计（量）了。统计学中的估计量是对整体样本的一个估计量，比如要统计一百万人的平均身高，一个个统计是不现实的，此时可以用样本均值来代替这一百万人（总体）身高的平均值，即：随机抽取一些人，比如100个，那么就可以用这100个人的身高的平均值来代替总体均值。然而，它是有条件的，只有当样本均值的期望等于总体均值时，才可用样本均值来代替总体均值，此时的样本均值称为总体的一个无偏估计，若该样本均值的期望不等于总体均值则是有偏估计。方差同理，当一个样本方差的期望等于总体方差时，该样本方差是总体的一个无偏估计，否则是有偏估计。
- 总体方差的无偏估计
我们知道在现实中，样本的总体均值一般难以求得，所以理论上的样本方差不适用，只能用样本均值来代替样本方差中的
μ
\mu
μ，而为了使新的样本方差仍然是总体方差的无偏估计，我们有：
E
S
2
=
E
1
m
∑
i
=
1
n
(
X
i
−
X
ˉ
)
2
=
σ
2
E{S^2} = E\frac{1}{m}\sum\limits_{i = 1}^n {{{(X_i - \bar X)}^2}} = {\sigma ^2}
ES2=Em1i=1∑n(Xi−Xˉ)2=σ2所以：
E
1
m
∑
i
=
1
n
(
X
i
−
X
ˉ
)
2
=
1
m
∑
i
=
1
n
E
(
X
i
−
X
ˉ
)
2
=
1
m
∑
i
=
1
n
[
E
X
i
2
−
2
E
(
X
i
1
n
∑
j
=
1
n
X
j
)
+
E
X
ˉ
2
]
E\frac{1}{m}\sum\limits_{i = 1}^n {{{({X_i} - \bar X)}^2}} = \frac{1}{m}\sum\limits_{i = 1}^n {E{{({X_i} - \bar X)}^2}} \\{\rm{ }} = \frac{1}{m}\sum\limits_{i = 1}^n {[E{X_i}^2 - 2E({X_i}\frac{1}{n}\sum\limits_{j = 1}^n {{X_j}} ) + E{{\bar X}^2}]}
Em1i=1∑n(Xi−Xˉ)2=m1i=1∑nE(Xi−Xˉ)2=m1i=1∑n[EXi2−2E(Xin1j=1∑nXj)+EXˉ2]由两个不同样本之间相互独立，得：
1
m
∑
i
=
1
n
[
E
X
i
2
−
2
E
(
X
i
1
n
∑
j
=
1
n
X
j
)
+
E
X
ˉ
2
]
=
1
m
∑
i
=
1
n
[
E
X
i
2
−
2
n
[
E
X
i
2
+
(
n
−
1
)
E
2
X
i
]
+
E
X
ˉ
2
]
=
1
m
∑
i
=
1
n
[
μ
2
+
σ
2
−
2
n
[
μ
2
+
σ
2
+
(
n
−
1
)
μ
2
]
+
μ
2
+
σ
2
n
]
=
1
m
∑
i
=
1
n
n
−
1
n
σ
2
=
n
−
1
m
σ
2
\frac{1}{m}\sum\limits_{i = 1}^n {[E{X_i}^2 - 2E({X_i}\frac{1}{n}\sum\limits_{j = 1}^n {{X_j}} ) + E{{\bar X}^2}]} \\= \frac{1}{m}\sum\limits_{i = 1}^n {[E{X_i}^2 - \frac{2}{n}[EX_i^2 + (n - 1){E^2}{X_i}] + E{{\bar X}^2}]} \\= \frac{1}{m}\sum\limits_{i = 1}^n {[{\mu ^2} + {\sigma ^2} - \frac{2}{n}[{\mu ^2} + {\sigma ^2} + (n - 1){\mu ^2}] + {\mu ^2} + \frac{{{\sigma ^2}}}{n}]} \\= \frac{1}{m}\sum\limits_{i = 1}^n {\frac{{n - 1}}{n}{\sigma ^2}} = \frac{{n - 1}}{m}{\sigma ^2}
m1i=1∑n[EXi2−2E(Xin1j=1∑nXj)+EXˉ2]=m1i=1∑n[EXi2−n2[EXi2+(n−1)E2Xi]+EXˉ2]=m1i=1∑n[μ2+σ2−n2[μ2+σ2+(n−1)μ2]+μ2+nσ2]=m1i=1∑nnn−1σ2=mn−1σ2显然，
m
=
n
−
1
m = n - 1
m=n−1，所以总体方差的无偏估计为
S
2
=
1
n
−
1
∑
i
=
1
n
(
X
i
−
X
ˉ
)
2
{S^2} = \frac{1}{{n - 1}}\sum\limits_{i = 1}^n {{{(X_i - \bar X)}^2}}
S2=n−11i=1∑n(Xi−Xˉ)2
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