牛顿欧拉法（NE）是求解机器人动力学逆解的一种方法。动力学逆解定义为：已知机器人的构型
q
q
q和运动的速度
q
˙
\dot{q}
q˙和加速度
q
¨
\ddot{q}
q¨，求解产生这种运动状态的各关节的力矩
τ
τ
τ。
我们把机器人的构型描述成一棵树，base body 为根节点，相应的末端工具手就是叶节点。NE分为两次回归：向外回归和向内回归，每个回归分为2步，所以NE一共四部。
从根节点开始向外逐个计算每个link的速度和加速度，一直计算到末端。速度公式为
其中v
i
i
i是link i的速度，v
p
(
i
)
p(i)
p(i)是link i-1的速度，
Φ
i
Φ_i
Φi是joint i的运动矩阵，
q
i
˙
\dot{q_i}
qi˙是joint i的速度。
对上式求导即可得每个link的加速度
上式没有考虑重力的作用，若是考虑重力加速度的作用，a
0
0
0也就是初试加速度应该为-a
g
g
g。
根据每个link的速度和加速度计算其运动方程
其中
I
i
I_i
Ii是link i的惯量，f
i
a
^a_i
ia是link i所受合力
根据每一个关节，计算link 所受的力
上式中，f
i
e
^e_i
ie是该link所受外力，比如弹簧、阻尼、力场力，包括由于和环境接触而受到的力。f
i
_i
i是joint i施加于link i的力，
c
(
i
)
c(i)
c(i)是link i的所有子link，就是接在link i上的link。
故而上式可以变成
如果重力也需要考虑在内，应当将重力包含在f
i
e
^e_i
ie中。
计算每个joint 应当提供的力矩
最为简单方便，但是不适合数值计算。
先解释一下什么是两岸坐标系算法，
如果为每一个link都定义了一个坐标系、并且与link i相关的计算都是在这个为link i定义的坐标系中计算的，这个算法就叫做连杆坐标系算法（Link-Coordinates Algorithm）。
式（3.71）~（3.75）中，（3.73）和（3.75）只和link i有关，因而符合连杆坐标系算法的要求。（3.71）、（3.72）和（3.74）不符合要求，需要进行处理。
处理后的结果如下所示
其实就是把不是用link i坐标系表示的变量，统统换成用link i坐标系表示。
其中jtype返回joint i的关节类型，xjcalc计算关节i的变换矩阵。
