1 关于张量的四种定义
“张量”在不同的运用场景下有不同的定义。
（1）张量是多维数组，这个定义常见于各种人工智能软件。听起来还好理解。
（2）张量是某种几何对象，不会随着坐标系的改变而改变。
（3）张量是向量和余向量（covector）通过张量积（tensor product）组合而成的。
（4）张量是多重线性映射，即：
2 多维数组
开源框架tensor-flow是这么定义tensor（张量）的：A tensor is ageneralization of vectors and matrices to potentially higher dimensions.
也就是说，张量（tensor）是多维数组，目的是把向量、矩阵推向更高的维度。
更具体点，也即是说：
把三维张量画成一个立方体：
我们就可以进一步画出更高维的张量：从数据结构上来看，张量就是多维数组。这个定义本身没有错，但是没有真正反映张量
的核心。
3 几何对象
我们来看下第二个定义：张量是某种几何对象，不会随着坐标系的改变而改变。
3.1 二维平面
最简单的几何对象就是二维平面，在线性代数中称为 R方（这是一个向量空间），下面用一个有颜色的方框来表示：
这个R方可以通过直角坐标系来描述（也就是单位正交基来张成）
也可以由别的坐标系来描述（别的基来张成），当然 R方本身不会因为基不同而发生改变：
上面的图有几点值得注意：是一个几何对象，它与坐标系（基）无关,可以通过不同的坐标系（基）来描述（张成）,并且，不 同的坐标系（基）之间有明确的转换规则（这个我们后面再说）,那这样一个几何对象， 就可以用张量来描述。
3.2 二维平面中的向量
R方中的向量，也是一个几何对象：
当 R方被某个基张成的时候，向量也获得了坐标值：
如果基发生了变换，坐标值也会不断的变化：
从而可以得到如下的结论：向量是一个几何对象，它与基无关,不同的基下，有不同的坐标值,并且，不同的坐标值之间有明确的转换规则,所以，向量这个几何对象也可以用张量来描述。
3.3 二维平面之间的线性映射
假设有如下线性映射：
其实它也是一个几何对象，可以图示如下
上图表示左边 中的一点（一点也对应一个向量），通过 L和右边R方中的一点关联了起来，这就是映射。
当用单位正交基来描述左右两个 ，可以得到一个矩阵 来表示此 ：
不同的基，会获得不同的矩阵（也就是所谓的等价矩阵），比如说 ：
进而得到如下的结论：
线性映射 是一个几何对象，它与基无关
不同的基下，有不同的矩阵来代表
并且，不同的矩阵之间有明确的转换规则
所以， 这个几何对象也可以用张量来描述。
4 总结
可见，张量可以表达非常多的线性代数的研究对象。
