如何询问 Scala 类型参数的所有实例化是否存在证据？

给定皮亚诺数的以下类型级加法函数

sealed trait Nat
class O extends Nat
class S[N <: Nat] extends Nat

type plus[a <: Nat, b <: Nat] = a match
  case O => b
  case S[n] => S[n plus b]

说我们想证明定理

对于所有自然数 n，n + 0 = n

也许可以这样指定

type plus_n_0 = [n <: Nat] =>> (n plus O) =:= n

那么当涉及到为定理提供证据时，我们可以轻松地要求 Scala 编译器在特定情况下提供证据

summon[plus_n_O[S[S[O]]]]  // ok, 2 + 0 = 2

但是我们如何询问 Scala 是否可以为所有实例化生成证据[n <: Nat]，从而提供了证明plus_n_0?

这是一种可能的方法，尝试对本段进行字面解释：

当证明一个陈述时E:N→U对于所有自然数，只需证明0并为succ(n)，假设它成立n，即我们构造ez:E(0) and es:∏(n:N)E(n)→E(succ(n)).

from HoTT 书（第 5.1 节） https://hott.github.io/book/nightly/hott-online-1287-g1ac9408.pdf.

以下是在下面的代码中实现的计划：

• 明确证明“某些财产P对于所有自然数都成立”。下面，我们将使用

   trait Forall[N, P[n <: N]]:
     inline def apply[n <: N]: P[n]
  

  其中的签名apply-方法本质上是说“对于所有人n <: N，我们可以生成证据P[n]".

  请注意，该方法被声明为inline。这是确保证明的一种可能方法∀n.P(n)在运行时是建设性的和可执行的（但是，请参阅具有手动生成见证条款的替代提案的编辑历史记录）.

• 假设自然数的某种归纳原理。下面，我们将使用以下公式：

   If
      P(0) holds, and
      whenever P(i) holds, then also P(i + 1) holds,
   then
      For all `n`, P(n) holds
  

  我相信应该可以derive这种归纳原理使用一些元编程工具。

• 写出归纳原理的基本情况和归纳情况的证明。

• ???

• Profit

代码如下所示：

sealed trait Nat
class O extends Nat
class S[N <: Nat] extends Nat

type plus[a <: Nat, b <: Nat] <: Nat = a match
  case O => b
  case S[n] => S[n plus b]

trait Forall[N, P[n <: N]]:
  inline def apply[n <: N]: P[n]

trait NatInductionPrinciple[P[n <: Nat]] extends Forall[Nat, P]:
  def base: P[O]
  def step: [i <: Nat] => (P[i] => P[S[i]])
  inline def apply[n <: Nat]: P[n] =
    (inline compiletime.erasedValue[n] match
      case _: O => base
      case _: S[pred] => step(apply[pred])
    ).asInstanceOf[P[n]]

given liftCoUpperbounded[U, A <: U, B <: U, S[_ <: U]](using ev: A =:= B):
  (S[A] =:= S[B]) = ev.liftCo[[X] =>> Any].asInstanceOf[S[A] =:= S[B]]

type NatPlusZeroEqualsNat[n <: Nat] = (n plus O) =:= n

def trivialLemma[i <: Nat]: ((S[i] plus O) =:= S[i plus O]) =
  summon[(S[i] plus O) =:= S[i plus O]]

object Proof extends NatInductionPrinciple[NatPlusZeroEqualsNat]:
  val base = summon[(O plus O) =:= O]
  val step: ([i <: Nat] => NatPlusZeroEqualsNat[i] => NatPlusZeroEqualsNat[S[i]]) = 
    [i <: Nat] => (p: NatPlusZeroEqualsNat[i]) =>
      given previousStep: ((i plus O) =:= i) = p
      given liftPreviousStep: (S[i plus O] =:= S[i]) =
        liftCoUpperbounded[Nat, i plus O, i, S]
      given definitionalEquality: ((S[i] plus O) =:= S[i plus O]) =
        trivialLemma[i]
      definitionalEquality.andThen(liftPreviousStep)

def demoNat(): Unit = {
  println("Running demoNat...")
  type two = S[S[O]]
  val ev = Proof[two]
  val twoInstance: two = new S[S[O]]
  println(ev(twoInstance) == twoInstance)
}

它编译、运行并打印：

true

这意味着我们已经成功调用了递归定义的 类型的可执行证据项的方法two plus O =:= two.

一些进一步的评论

• The trivialLemma是必要的，以便summons 在其他的里面given不会意外地生成递归循环，这有点烦人。
• 分开的liftCo- 方法S[_ <: U]需要，因为=:=.liftCo不允许具有上限类型参数的类型构造函数。
• compiletime.erasedValue + inline match太棒了！它会自动生成某种运行时小发明，使我们能够对“已擦除”类型进行模式匹配。在我发现这一点之前，我试图手动构建适当的见证条款，但这似乎根本没有必要，它是免费提供的（有关手动构建见证条款的方法，请参阅编辑历史记录）。