对自然数e的理解，推导(基础)

对自然数e的理解，推导(基础)

在前面的博文 古典概型事件数计算, 分房，配对，乱序(概统1)一文中，已经写到了对e的理解，在n把钥匙配n把锁的”乱序配对”问题中，当n很大时，n把钥匙与n把锁乱序后配对，无一配对成功的概率是 1 e \frac{1}{e} e1​ 大约是0.37，大约是 1 3 \frac{1}{3} 31​的概率，那么至少有一把锁和钥匙能够成功配对的概率是(1- 1 e \frac{1}{e} e1​)，大约是 2 3 \frac{2}{3} 32​的概率。

因为对e的理解很重要，而且看到很多网文仅仅只是简单说明，这里再来详细说说，用一句话来说，e就是分裂循环极限，或者说分割循环极限。举个例子，银行存款：假设存1万元，假设存一年的利息是100%，假如一年以后取，利息加本金就是2万元。如果每半年取一次，每次的利息就只有50%，一年以后本金加利息=2.25万元,；如果每个季度取一次，每次的利息就只有25%，一年以后本金加利息大约2.4414万元，假设再加快取出速度，每天取，每小时取，那么最大本金加利息最多就是2.71828万元，这就是 e 值， e = ( 1 + 1 n ) n e = (1+\frac{1}{n})^n e=(1+n1​)n。这个就叫自然数。

直观来理解，e就是一个将单位时间无限细分，细分无限迭代的极限。比如银行计算利息，时间范围是1年，做无限分割，得到无限个利息增长的小段（ 1 n ， 或 者 x n \frac{1}{n}，或者\frac{x}{n} n1​，或者nx​)，这些小段利息再无限迭代，就是 ( 1 + 1 n ) (1+\frac{1}{n}) (1+n1​) 或者 ( 1 + x n ) (1+\frac{x}{n}) (1+nx​) n次相乘，得到的结果就是e或者 e x e^x ex

e的分解：

e x e^{x} ex = ∑ i = 0 ∞ ( x ) i i ! \sum_{i=0}^{\infty}\frac{(x)^{i}}{i!} ∑i=0∞​i!(x)i​
e x e^{x} ex = 1+x+ ( x ) 2 2 ! + ( x ) 3 3 ! + . . . + ( x ) n 1 n ! \frac{(x)^2}{2!}+\frac{(x)^3}{3!} + ... +(x)^{n}\frac{1}{n!} 2!(x)2​+3!(x)3​+...+(x)nn!1​
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近似计算（e<4）的情况，e的指数越大，后面的项越大，越需要多项展开）：
e x e^{x} ex = 1+x+$\frac{(x)^{2}{2}+\frac{(x)}3}{6} + \frac{(x)^4}{24} +\frac{(x)^5}{120} $
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下面是根据e的定义得出的公式
根据e的定义，e 就是 n次细分再n次乘积，并且 n − &gt; ∞ n-&gt;\infty n−>∞ ，可得：
e e e = ∑ i = 0 ∞ 1 i ! \sum_{i=0}^{\infty}\frac{1}{i!} ∑i=0∞​i!1​ = $\lim_{n->\infty }(1+\frac{1}{n})^{n} $
e x e^{x} ex = ∑ i = 0 ∞ ( x ) i i ! \sum_{i=0}^{\infty}\frac{(x)^{i}}{i!} ∑i=0∞​i!(x)i​= $\lim_{n->\infty }(1+\frac{x}{n})^{n} $
设n=x*t; 得到 x n \frac{x}{n} nx​ = 1 t \frac{1}{t} t1​
e x e^{x} ex = $\lim_{n->\infty }(1+\frac{x}{n})^{n} $= $\lim_{ t ->\infty }(1+\frac{1}{t})^{tx} $

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思考问题1：
由上面已知，当n趋于正无穷的时候，即 lim ⁡ n → ∞ ( 1 + 1 n ) n \lim_{n\to\infty}(1+\frac{1}{n})^n limn→∞​(1+n1​)n = e;
那么，如果n趋于负无穷呢？即 lim ⁡ n → − ∞ ( 1 + 1 n ) n \lim_{n\to-\infty}(1+\frac{1}{n})^n limn→−∞​(1+n1​)n = e; 成立吗？怎样证明？
用 lim ⁡ x → 0 ( 1 + x ) 1 x \lim_{x\to0}(1+x)^{\frac{1}{x}} limx→0​(1+x)x1​=e 来证明
已知： lim ⁡ n → ∞ ( 1 + 1 n ) n = e \lim_{n\to\infty}(1+\frac{1}{n})^n = e limn→∞​(1+n1​)n=e； (1)
设 n = 1 x n=\frac{1}{x} n=x1​;
(1)式变成
lim ⁡ x → 0 ( 1 + x ) 1 x = e \lim_{x\to0}(1+x)^{\frac{1}{x}} = e limx→0​(1+x)x1​=e; (2)
当 n → − ∞ n\to-\infty n→−∞时，表达式是：
lim ⁡ n → − ∞ ( 1 + 1 n ) n \lim_{n\to-\infty}(1+\frac{1}{n})^n limn→−∞​(1+n1​)n ; (3)
设 y = 1 n y=\frac{1}{n} y=n1​;
已知 n → − ∞ n\to-\infty n→−∞，可得 y → 0 y\to0 y→0;
(3)式变成
lim ⁡ n → − ∞ ( 1 + 1 n ) n \lim_{n\to-\infty}(1+\frac{1}{n})^n limn→−∞​(1+n1​)n
= lim ⁡ y → 0 ( 1 + y ) 1 y \lim_{y\to0}(1+y)^{\frac{1}{y}} limy→0​(1+y)y1​ ；
由(2)式，可得
= lim ⁡ y → 0 ( 1 + y ) 1 y \lim_{y\to0}(1+y)^{\frac{1}{y}} limy→0​(1+y)y1​ =e；(4)
因此
lim ⁡ n → − ∞ ( 1 + 1 n ) n \lim_{n\to-\infty}(1+\frac{1}{n})^n limn→−∞​(1+n1​)n = e; (5)
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可以写成
lim ⁡ n → ∞ ( 1 + 1 n ) n \lim_{n\to\infty}(1+\frac{1}{n})^n limn→∞​(1+n1​)n = e; (6)
lim ⁡ n → − ∞ ( 1 + 1 n ) n \lim_{n\to-\infty}(1+\frac{1}{n})^n limn→−∞​(1+n1​)n = e; (7)
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因此，无论 n → ∞ n\to\infty n→∞或者 n → − ∞ n\to-\infty n→−∞，都有
( 1 + 1 n ) n = e (1+\frac{1}{n})^n = e (1+n1​)n=e; (8)

1 e \frac{1}{e} e1​ = e − 1 e^{-1} e−1
e − 1 e^{-1} e−1 = ∑ i = 0 ∞ ( − 1 ) i i ! \sum_{i=0}^{\infty }\frac{(-1)^{i}}{i!} ∑i=0∞​i!(−1)i​
e − 1 e^{-1} e−1 = 1 2 ! − 1 3 ! + 1 4 ! − 1 5 ! + . . . + ( − 1 ) n 1 n ! \frac{1}{2!}-\frac{1}{3!} + \frac{1}{4!}-\frac{1}{5!} +... +(-1)^{n}\frac{1}{n!} 2!1​−3!1​+4!1​−5!1​+...+(−1)nn!1​

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思考问题2：
e x e^{x} ex的泰勒级数展开多项式中，哪一项的值最大？
答案是：x等于哪个数就是哪项的值最大， 即恰好第x项的值最大。
比如，对x=1，
e 1 e^{1} e1 = 1+1+ ( 1 ) 2 2 + ( 1 ) 3 6 + ( 1 ) 4 24 + ( 1 ) 5 120 + . . . \frac{(1)^2}{2}+\frac{(1)^3}{6} + \frac{(1)^4}{24} +\frac{(1)^5}{120}+... 2(1)2​+6(1)3​+24(1)4​+120(1)5​+...
=1+1+ 1 2 + 1 6 + 1 24 + 1 120 + . . . \frac{1}{2}+\frac{1}{6} + \frac{1}{24} +\frac{1}{120}+... 21​+61​+241​+1201​+...
=1+1+0.5+0.167+0.04+0.008+…;
第一项最大 x=1。
===
对x=2:
e 2 e^{2} e2 = 1+2+ ( 2 ) 2 2 + ( 2 ) 3 6 + ( 2 ) 4 24 + ( 2 ) 5 120 + . . . \frac{(2)^2}{2}+\frac{(2)^3}{6} + \frac{(2)^4}{24} +\frac{(2)^5}{120}+... 2(2)2​+6(2)3​+24(2)4​+120(2)5​+...
=1+2+ 4 2 + 8 6 + 16 24 + 32 120 + . . . \frac{4}{2}+\frac{8}{6} + \frac{16}{24} +\frac{32}{120}+... 24​+68​+2416​+12032​+...
=1+2+2+1.33+0.67+0.27+…;
第一项及第二项 都是最大 ( x ) 2 2 = 2 2 2 = 2 \frac{(x)^2}{2}=\frac{2^2}{2}=2 2(x)2​=222​=2；
===
x=3，
e 3 e^{3} e3 = 1+3+ ( 3 ) 2 2 + ( 3 ) 3 6 + ( 3 ) 4 24 + ( 3 ) 5 120 + . . . \frac{(3)^2}{2}+\frac{(3)^3}{6} + \frac{(3)^4}{24} +\frac{(3)^5}{120}+... 2(3)2​+6(3)3​+24(3)4​+120(3)5​+...
=1+3+ 9 2 + 27 6 + 81 24 + 243 120 + . . . \frac{9}{2}+\frac{27}{6} + \frac{81}{24} +\frac{243}{120}+... 29​+627​+2481​+120243​+...
=1+3+4.5+4.73+3.3+2.05+…;
第三项 最大 ( x ) 3 6 = 3 3 6 \frac{(x)^3}{6}=\frac{3^3}{6} 6(x)3​=633​=4.73；
===
x=4，
e 4 e^{4} e4 = 1+4+ ( 4 ) 2 2 + ( 4 ) 3 6 + ( 4 ) 4 24 + ( 4 ) 5 120 + . . . \frac{(4)^2}{2}+\frac{(4)^3}{6} + \frac{(4)^4}{24} +\frac{(4)^5}{120}+... 2(4)2​+6(4)3​+24(4)4​+120(4)5​+...
=1+4+ 16 2 + 64 6 + 256 24 + 1024 120 + . . . \frac{16}{2}+\frac{64}{6} + \frac{256}{24} +\frac{1024}{120}+... 216​+664​+24256​+1201024​+...
=1+4+8+10+12+8.5+…;
第四项 最大 ( x ) 4 24 = 4 4 24 = 256 24 \frac{(x)^4}{24}=\frac{4^4}{24}=\frac{256}{24} 24(x)4​=2444​=24256​=12；
以此类推…

e的直观意义：e就是把一个单位范围内的增长细分再相乘的极限。**

比如银行计息，如果一年的利息是100%，一年计一次息，年底就是 （ 1 + 1 ） 1 （1+1）^1 （1+1）1=2，年底余额等于年初的2倍，如果银行每月计一次息，那么每月利息只有年利息的 1 12 \frac{1}{12} 121​，但是每月计息，一年要乘12次，就是$（1+\frac{1}{12})^{12} ， 年 底 余 额 大 约 等 于 年 初 的 2.7 倍 。 如 果 一 年 的 利 息 是 x ， 每 个 月 计 一 次 息 ， 每 月 利 息 只 有 ，年底余额大约等于年初的2.7倍。如果一年的利息是x，每个月计一次息，每月利息只有 ，年底余额大约等于年初的2.7倍。如果一年的利息是x，每个月计一次息，每月利息只有\frac{x}{12} ， 一 年 要 计 息 12 次 ， 就 是 ，一年要计息12次，就是 ，一年要计息12次，就是（1+\frac{x}{12})^{12} ， 当 计 息 频 率 越 来 越 快 的 时 候 ， 每 次 分 割 部 分 越 来 越 小 ， 相 乘 次 数 越 来 越 多 ， 到 年 底 的 时 候 ， 极 限 本 金 加 利 息 就 是 ，当计息频率越来越快的时候，每次分割部分越来越小，相乘次数越来越多，到年底的时候，极限本金加利息就是 ，当计息频率越来越快的时候，每次分割部分越来越小，相乘次数越来越多，到年底的时候，极限本金加利息就是e^x$

再直观一点理解，e就是频率加快的极限。频率加快，分割变细，乘积次数变多，最后乘积的极限数值就是e.

e的本质就是将一个单位范围内的增长细分再相乘的极限。分段越来越细，乘积越来越多，细分乘积到最后的极限，就是e， e其实就是一个无限分割带增长的极限。从这个意义上来说，e也有点类似于圆周率$\pi ， ， ，\pi 是 将 围 绕 着 中 心 的 直 线 无 限 分 割 ， 最 后 得 到 周 长 除 以 直 径 的 比 例 ， 可 以 无 限 分 割 ， 是 无 理 数 。 e 是 将 一 段 时 间 （ 比 如 银 行 计 算 利 息 ， 1 年 的 范 围 ） 无 限 分 割 ， 得 到 无 限 个 利 息 增 长 的 小 段 （ 是将围绕着中心的直线无限分割，最后得到周长除以直径的比例，可以无限分割，是无理数。e是将一段时间（比如银行计算利息，1年的范围）无限分割，得到无限个利息增长的小段（ 是将围绕着中心的直线无限分割，最后得到周长除以直径的比例，可以无限分割，是无理数。e是将一段时间（比如银行计算利息，1年的范围）无限分割，得到无限个利息增长的小段（\frac{1}{n}，或者\frac{x}{n} ) ， 这 些 增 长 小 段 再 无 限 迭 代 ， 表 现 为 )，这些增长小段再无限迭代，表现为 )，这些增长小段再无限迭代，表现为(1+\frac{1}{n})$ 或者 ( 1 + x n ) (1+\frac{x}{n}) (1+nx​) 再n次相乘，可以无限分割，最后得到的乘积结果就是e，或者 e x e^x ex

银行计息图片示例：