【Matlab】线性跟踪微分器

线性跟踪微分器介绍：

线性跟踪微分器出自自抗扰控制ADRC，线性跟踪微分器有两个作用，一是可以用来滤波，而是可以用来求取输入的微分。这里有一篇文章可以推荐看看：

https://blog.csdn.net/qq_35007540/article/details/87909764

这里我想再次根据此微分器的定义来重新编写验证一下。

以线性TD为例，连续系统的状态空间形式为

其中

是滤波后的输入，而

为滤波后输入的微分。

将其转化为传递函数形式为

显然线性TD的本质其实就是一个阻尼比为1的标准二阶系统，并且没有任何零点。事实上，线性TD的推导与理解过程非常简单，对于一个标准的二阶系统，将其写成状态空间的形式，其中的两个状态就分别对应为滤波后的输入以及滤波后输入的微分。线性跟踪微分器的本质是两个一阶惯性环节

对应程序编写时的推导

上图是以位移-速度-加速度的概念来带入微分器的公式，以便于理解

Matlab验证：

%*************************************************************************%
                %计算全阶观测器矩阵L的参数
%**********************************************************************%

clc;
clear;

%定义一个数组存储时间
Ts = 0.0001;    % 离散周期0.01秒
FinalT = 1;  %终止时间
t = Ts : Ts : FinalT;   % 1k
y = zeros(1,(FinalT / Ts));  %位移
y1_Real = zeros(1,(FinalT / Ts));  %位移
y2_Real = zeros(1,(FinalT / Ts));  %位移
x = zeros(1,(FinalT / Ts));  %位移
x_temp = 0;
v_temp = 0; 
a_temp = 0;
v = zeros(1,(FinalT / Ts));  %速度
a = zeros(1,(FinalT / Ts));  %加速度

r = 100.5;

%计算 y = t^2 的图像
for i = 1 : 1 : (FinalT / Ts)
    y(i) = t(i) * t(i) * t(i);
    y1_Real(i) = 3 * t(i) * t(i);
    y2_Real(i) = 6 * t(i);
    
     
    a_temp =  - r * r * (x_temp - y(i)) - 2 * r * v_temp;
    v_temp = v_temp + a_temp * Ts;
    x_temp = x_temp + v_temp * Ts;  
     
    x_temp - y(i) = ((x_temp - y(i)) > M_PI)?(x_temp - y(i) - M_TWO_PI): x_temp - y(i)
   x_temp - y(i) = ((x_temp - y(i)) < -M_PI)?(x_temp - y(i) +M_TWO_PI): x_temp - y(i)
     if a_temp > 20
        a_temp = 20;
    end
    if a_temp < -20
        a_temp = -20;
    end    
    
    if v_temp > 20
        v_temp = 20;
    end
    if v_temp < -20
        v_temp = -20;
    end
    
    x(i) = x_temp;
    a(i) = a_temp;
    v(i) = v_temp;
end



subplot(2,3,1),plot(t,y);   %函数图像
grid on;
title("y = t^3 图像");

subplot(2,3,2),plot(t,y1_Real);   %函数图像
grid on;
title("y1_Real 图像");

subplot(2,3,3),plot(t,y2_Real);   %函数图像
grid on;
title("y2_Real 图像");

subplot(2,3,4),plot(t,x);   %函数图像
grid on;
title("y图像");

subplot(2,3,5),plot(t,v);   %函数图像
grid on;
title("v图像");

subplot(2,3,6),plot(t,a);   %函数图像
grid on;
title("a图像");

上图中，上半部分是真实的 y=t^3 函数的图像，以及其微分与二次微分图像，下图是使用线性跟踪微分器求解出来的其微分与二次微分图像。