向量范数的等价
对于任意两个有限维线性空间
V
V
上的范数 ∥⋅∥α,∥⋅∥β, 若存在常数
C1>0,C2>0
C
1
>
0
,
C
2
>
0
使得
∀η∈V,
∀
η
∈
V
,
∥η∥α≤C1∥η∥β,∥η∥β≤C2∥η∥α
‖
η
‖
α
≤
C
1
‖
η
‖
β
,
‖
η
‖
β
≤
C
2
‖
η
‖
α
则称
∥⋅∥α
‖
⋅
‖
α
与
∥⋅∥β
‖
⋅
‖
β
是等价的。
性质
有限维线性空间中的任意两种向量范数都是等价的。
证明
设
ξ
ξ
是数域为
F
F
的
n
n
维线性空间 V 的一组基。
1. 首先证明对于
V
V
中任意一种范数 ∥⋅∥, 函数
φ:Fn↦R,φ(X)=∥ξX∥
φ
:
F
n
↦
R
,
φ
(
X
)
=
‖
ξ
X
‖
在
L2
L
2
范数下都是连续的。
对于
V
V
中任意一种范数 ∥⋅∥,∀X,Y∈Fn, 令
α=ξX,β=ξY,
α
=
ξ
X
,
β
=
ξ
Y
,
则
|φ(X)−φ(Y)|=|∥ξX∥−∥ξY∥|=|∥α∥−∥β∥|≤∥α−β∥=∥ξ(X−Y)∥=∥∥∥∑i=1n(xi−yi)ξi∥∥∥
|
φ
(
X
)
−
φ
(
Y
)
|
=
|
‖
ξ
X
‖
−
‖
ξ
Y
‖
|
=
|
‖
α
‖
−
‖
β
‖
|
≤
‖
α
−
β
‖
=
‖
ξ
(
X
−
Y
)
‖
=
‖
∑
i
=
1
n
(
x
i
−
y
i
)
ξ
i
‖
≤∑i=1n∥(xi−yi)ξi∥=∑i=1n|xi−yi|∥ξi∥→0,X→Y
≤
∑
i
=
1
n
‖
(
x
i
−
y
i
)
ξ
i
‖
=
∑
i
=
1
n
|
x
i
−
y
i
|
‖
ξ
i
‖
→
0
,
X
→
Y
因此
φ(X)
φ
(
X
)
是连续函数。
2. 于是
φ(Y;α)=∥ξY∥α
φ
(
Y
;
α
)
=
‖
ξ
Y
‖
α
在有界闭集
S={Y∈Fn:∥Y∥2=1}
S
=
{
Y
∈
F
n
:
‖
Y
‖
2
=
1
}
上连续,又
φ(Y;α)
φ
(
Y
;
α
)
在
S
S
内恒大于零,因此在 S 内必有最大值
Cmax>0,
C
max
>
0
,
最小值
Cmin>0,
C
min
>
0
,
同理可得
φ(Y;β)=∥ξY∥β
φ
(
Y
;
β
)
=
‖
ξ
Y
‖
β
在
S
S
内必有最大值 Dmax>0, 最小值
Dmin>0,
D
min
>
0
,
3.
∀η∈V,
∀
η
∈
V
,
若
η=0⃗ ,
η
=
0
→
,
则命题显然成立。
否则,
η≠0⃗ ,
η
≠
0
→
,
则
∃X∈Fn,X≠0⃗
∃
X
∈
F
n
,
X
≠
0
→
使得
η=ξX,
η
=
ξ
X
,
令
Y=1∥X∥2X,
Y
=
1
‖
X
‖
2
X
,
则
∥Y∥2=1,
‖
Y
‖
2
=
1
,
因此
Y∈S,
Y
∈
S
,
于是
∥η∥β∥η∥α=∥ξX∥β∥ξX∥α
‖
η
‖
β
‖
η
‖
α
=
‖
ξ
X
‖
β
‖
ξ
X
‖
α
=∥ξY∥β∥ξY∥α∥X∥2∥X∥2
=
‖
ξ
Y
‖
β
‖
ξ
Y
‖
α
‖
X
‖
2
‖
X
‖
2
=φ(Y;α)φ(Y;β)∈[DminCmax,DmaxCmin]
=
φ
(
Y
;
α
)
φ
(
Y
;
β
)
∈
[
D
min
C
max
,
D
max
C
min
]
。
令
C1=DminCmax,C2=DmaxCmin,
C
1
=
D
min
C
max
,
C
2
=
D
max
C
min
,
则:
0<C1≤∥η∥β∥η∥α≤C2
0
<
C
1
≤
‖
η
‖
β
‖
η
‖
α
≤
C
2
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