定理 1
对于任意一个矩阵
Am×n,
A
m
×
n
,
对于
A
A
的任意一个 s 行
t
t
列组成的矩阵 Bs×t,r(B)≥r(A)+s+t−m−n
证明
- 首先证明: 对于任意一个矩阵
Am×n,
A
m
×
n
,
对于
A
A
的任意一个 m 行
n−1
n
−
1
列组成的矩阵
Bm×(n−1),r(B)≥r(A)−1
B
m
×
(
n
−
1
)
,
r
(
B
)
≥
r
(
A
)
−
1
。
取
A
A
中的一个行列式不为零的 r(A) 阶子式,则该子式最多有一列不在
B
B
中,按照这一列展开,则该子式是 B 中的
r(A)−1
r
(
A
)
−
1
阶子式的线性组合,因此
B
B
中至少有一个 r(A)−1 阶子式不为
0,
0
,
因此
r(B)≥r(A)−1
r
(
B
)
≥
r
(
A
)
−
1
。 - 同理可得,对于任意一个矩阵
Am×n,
A
m
×
n
,
对于
A
A
的任意一个 m−1 行
n
n
列组成的矩阵 B(m−1)×n,r(B)≥r(A)−1 。
-
B
B
可看成是从 A 中逐个移除
m−s
m
−
s
行
n−t
n
−
t
列而得到的矩阵,因此
r(B)≥r(A)−(m−s)−(n−t)=r(A)+s+t−m−n
r
(
B
)
≥
r
(
A
)
−
(
m
−
s
)
−
(
n
−
t
)
=
r
(
A
)
+
s
+
t
−
m
−
n
定理 2
∀Am×p,Bp×n,r(A)+r(B)−p≤r(AB)
∀
A
m
×
p
,
B
p
×
n
,
r
(
A
)
+
r
(
B
)
−
p
≤
r
(
A
B
)
证明
令
A=P1(ErA×rA000)Q1
A
=
P
1
(
E
r
A
×
r
A
0
0
0
)
Q
1
B=P2(ErB×rB000)Q2
B
=
P
2
(
E
r
B
×
r
B
0
0
0
)
Q
2
AB=P1(ErA×rA000)Q1P2(ErB×rB000)Q2
A
B
=
P
1
(
E
r
A
×
r
A
0
0
0
)
Q
1
P
2
(
E
r
B
×
r
B
0
0
0
)
Q
2
=P1QQ2
=
P
1
Q
Q
2
其中
P=Q1P2,Q=(ErA×rA000)P(ErB×rB000)
P
=
Q
1
P
2
,
Q
=
(
E
r
A
×
r
A
0
0
0
)
P
(
E
r
B
×
r
B
0
0
0
)
P1,Q1,P2,Q2
P
1
,
Q
1
,
P
2
,
Q
2
都可逆。
令
P=(P11P21P12P22),
P
=
(
P
11
P
12
P
21
P
22
)
,
则
Q=(P11000)p×p,
Q
=
(
P
11
0
0
0
)
p
×
p
,
由定理1,
r(AB)=r(P1QQ2)=r(Q)=r(P11)≥r(P)+r(A)+r(B)−p−p=r(A)+r(B)−p
r
(
A
B
)
=
r
(
P
1
Q
Q
2
)
=
r
(
Q
)
=
r
(
P
11
)
≥
r
(
P
)
+
r
(
A
)
+
r
(
B
)
−
p
−
p
=
r
(
A
)
+
r
(
B
)
−
p
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