我正在致力于实现一种名为 DIRTREL 的轨迹优化算法，该算法本质上是带有附加成本函数的直接转录。然而，成本函数包含通过围绕决策变量 (x, u) 线性化系统并采用离散时变 LQR 获得的 K 矩阵。我的问题是如何在 drake 中最有效、最简洁地表达这一点，因为我当前的方法以符号方式描述系统，并由于 Riccati 差分方程的递归性质而导致极其冗长的符号方程（随着时间步长的增加，长度只会增加），以及这种象征性的做法是否合适。
更多细节：
- 将我的系统指定为 LeafSystem
- 声明一个包含决策变量 x、u 的数学程序
- 要获得随时间变化的线性动力学，请指定一个类，该类在单个时间步长处接收动力学和决策变量，并使用 symbolic.Jacobian(args) 返回该时间步长的雅可比矩阵
- 添加包含整个轨迹的成本函数，因此所有 x, u
成本函数内部：
- 通过使用接受决策变量并返回雅可比行列式的类，获得每个时间步长的线性化矩阵 A_i、B_i、G_i（G_i 表示噪声）
- 使用 A_i 和 B_i 矩阵通过 Riccati 差分方程计算 TVLQR 成本 (S[n]) 并求解 Ks
- 返回数学程序的成本，该数学程序本质上是 K 矩阵的大型线性组合
附带说明的是，我不确定以符号方式计算逆的最容易处理的方法，但我最关心的是我的方法以及这种符号描述是否合适。
我认为DIRTREL有几个细节值得讨论：
- 成本矩阵
S[n]取决于线性化动力学Ai, Bi。我认为在 DIRTREL 中你需要解决一个非线性优化问题，这需要成本的梯度。因此，要计算成本的梯度，您将需要梯度S[n]，这需要梯度Ai, Bi. Since Ai and Bi是动力学函数的梯度f(x, u)，您将需要计算动力学的二阶梯度。
- 我们有一个paper http://groups.csail.mit.edu/robotics-center/public_papers/Dai12a.pdf进行轨迹优化并优化与 LQR 成本相关的成本函数。 DIRTREL 对我们的论文做了一些改进。在我们的实施中，我们处理了
S也作为决策变量，所以我们的决策变量是x, u, S，约束包括动力学约束x[n+1] = f(x[n], u[n])，以及 Riccati 方程作为约束S。我认为 DIRTREL 的方法在决策变量较少的情况下可以更好地扩展，但我还没有比较这两种方法之间的数值性能。
- 我不知道为什么你需要以符号方式计算逆矩阵。首先，您需要计算的逆是什么？其次，Drake 支持使用自动微分来计算数值梯度。我建议进行数值计算而不是符号计算。由于在数值优化中，您只需要成本/约束的值和梯度，因此以数值方式计算这些值通常比首先推导符号表达式，然后评估符号表达式要高效得多。
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