程序员经验分享-hwhale

Float类型出现舍入误差的原因

2023-05-16


首先是float累加产生误差的原因，该部分转自：http://blog.csdn.net/zhrh0096/article/details/38589067

1.  浮点数IEEE 754表示方法

要搞清楚float累加为什么会产生误差，必须先大致理解float在机器里怎么存储的，具体的表示参考[1] 和 [2]， 这里只介绍一下组成

由上图可知(摘在[2])， 浮点数由： 符号位 + 指数位 + 尾数部分， 三部分组成。由于机器中都是由二进制存储的，那么一个10进制的小数如何表示成二进制。例如: 8.25转成二进制为1000.01, 这是因为 1000.01 = 1*2^3 + 0*2^2 + 0*2^1 + 0*2^0 + 0*2^-1 + 2*2^-2 = 1000.01.

（2）float的有效位数是6-7位，这是为什么呢？因为位数部分只有23位，所以最小的精度为1*2^-23 在10^-6和10^-7之间，接近10^-7,[3]中也有解释

那么为什么float累加会产生误差呢，主要原因在于两个浮点数累加的过程。

2. 两个浮点数相加的过程

两浮点数X，Y进行加减运算时，必须按以下几步执行（可参考 [4] 中插图）：
（1）对阶，使两数的小数点位置对齐，小的阶码向大的阶码看齐。
（2）尾数求和，将对阶后的两尾数按定点加减运算规则求和(差)。
（3）规格化，为增加有效数字的位数，提高运算精度，必须将求和(差)后的尾数规格化。
（4）舍入，为提高精度，要考虑尾数右移时丢失的数值位。
（5）判断结果，即判断结果是否溢出。

关键就在与对阶这一步骤，由于float的有效位数只有7位有效数字，如果一个大数和一个小数相加时，会产生很大的误差，因为尾数得截掉好多位。例如：

123 + 0.00023456 = 1.23*10^2 + 0.000002 * 10^2 = 123.0002

那么此时就会产生0.00003456的误差，如果累加多次，则误差就会进一步加大。


解决方式有几种，但都不是最佳方式，参考：http://bbs.csdn.net/topics/390549664

3.解决方法

方法一

Kahan summation算法

https://en.wikipedia.org/wiki/Kahan_summation_algorithm


 
 
  1. 
   
   
   
   
    
    
    
    
     
     function KahanSum(input)
    
    
    
   
   
  2. 
   
   
   
   
    
    
    
    
     
         var sum = 
     
     0.0
    
    
    
   
   
  3. 
   
   
   
   
    
    
    
    
     
         var c = 
     
     0.0                 
     
     // A running compensation for lost low-order bits.
    
    
    
   
   
  4. 
   
   
   
   
    
    
    
        
     
     for i = 
     
     1 to input.length 
     
     do
    
    
    
   
   
  5. 
   
   
   
   
    
    
    
    
     
             var y = input[i] - c    
     
     // So far, so good: c is zero.
    
    
    
   
   
  6. 
   
   
   
   
    
    
    
    
     
             var t = sum + y         
     
     // Alas, sum is big, y small, so low-order digits of y are lost.
    
    
    
   
   
  7. 
   
   
   
   
    
    
    
    
     
             c = (t - sum) - y       
     
     // (t - sum) cancels the high-order part of y; subtracting y recovers negative (low part of y)
    
    
    
   
   
  8. 
   
   
   
   
    
    
    
    
     
             sum = t                 
     
     // Algebraically, c should always be zero. Beware overly-aggressive optimizing compilers!
    
    
    
   
   
  9. 
   
   
   
   
    
    
    
    
     
         next i                      
     
     // Next time around, the lost low part will be added to y in a fresh attempt.
    
    
    
   
   
  10. 
   
   
   
   
    
    
    
        
     
     return sum

伪代码如上

解决方法就是把多余的误差部分算出来(c)，再在下一次循环减去这个误差

方法二


 
 
  1. 
   
   
   
   
    
    
    
    
     
     int main()
    
    
    
   
   
  2. 
   
   
   
   
    
    
    
    
     
     {
    
    
    
   
   
  3. 
   
   
   
   
    
    
    
    
     
     float f = 
     
     0.1;
    
    
    
   
   
  4. 
   
   
   
   
    
    
    
    
     
     float sum = 
     
     0;
    
    
    
   
   
  5. 
   
   
   
   
    
    
    
    
     
     sum+=add(f,
     
     4000000);
    
    
    
   
   
  6. 
   
   
   
   
    
    
    
    
     
     cout<<sum<<
     
     endl;
    
    
    
   
   
  7. 
   
   
   
   
    
    
    
    
     
     return 
     
     0;
    
    
    
   
   
  8. 
   
   
   
   
    
    
    
    
     
     }
    
    
    
   
   
  9. 
   
   
   
   
  10. 
   
   
   
   
    
    
    
    
     
     float add(float f,int count)
    
    
    
   
   
  11. 
   
   
   
   
    
    
    
    
     
     {
    
    
    
   
   
  12. 
   
   
   
   
    
    
    
        
     
     if(count==
     
     1)
    
    
    
   
   
  13. 
   
   
   
   
    
    
    
        
     
     return f;
    
    
    
   
   
  14. 
   
   
   
   
    
    
    
        
     
     else
    
    
    
   
   
  15. 
   
   
   
   
    
    
    
            
     
     return add(f,count/
     
     2)+add(f,count-count/
     
     2);
    
    
    
   
   
  16. 
   
   
   
   
    
    
    
    
     
     }

二分法递归计算加法，这样会没有误差，但是函数调用消耗大（尤其是多次）

方法三

使用double，精度更高，但是本来是没有必要用这么高精度的

方法四

ieee浮点数,为了规格化,精度每超过2的整数次幂,精度要下降一位,
你的f是0.1,float位数是23,当sum足够大的时候,会出现 sum+f==sum 的情况,这个是ieee标准,
和C++没关系,事实上编译器应该已经做了浮点精度调整了,你这结果误差算小的了.
避免这种误差的方法就是浮点数,永远不要让一个很大的数去加上一个很小的数.不知你这段代码的目的是

什么,但如果你改成这样,误差会小很多:


 
 
  1. 
   
   
   
   
    
    
    
    
     
     float f = 
     
     0.1;
    
    
    
   
   
  2. 
   
   
   
   
    
    
    
    
     
     float sum = 
     
     0;
    
    
    
   
   
  3. 
   
   
   
   
    
    
    
    
     
     for( i=
     
     0; i<
     
     100; i++)
    
    
    
   
   
  4. 
   
   
   
   
    
    
    
    
     
     {
    
    
    
   
   
  5. 
   
   
   
   
    
    
    
    
     
     int sumEachBig=
     
     0;
    
    
    
   
   
  6. 
   
   
   
   
    
    
    
    
     
     for(....k<
     
     400....)
    
    
    
   
   
  7. 
   
   
   
   
    
    
    
    
     
     {
    
    
    
   
   
  8. 
   
   
   
   
    
    
    
    
     
     int sumEachSmall=
     
     0;
    
    
    
   
   
  9. 
   
   
   
   
    
    
    
    
     
     for(....j<
     
     100.....)
    
    
    
   
   
  10. 
   
   
   
   
    
    
    
    
     
         sumEachSmall += f;
    
    
    
   
   
  11. 
   
   
   
   
  12. 
   
   
   
   
    
    
    
    
     
     sumEachBig+=sumEachSmall;
    
    
    
   
   
  13. 
   
   
   
   
  14. 
   
   
   
   
    
    
    
    
     
     }
    
    
    
   
   
  15. 
   
   
   
   
  16. 
   
   
   
   
    
    
    
    
     
     sum += sumEachBig;
    
    
    
   
   
  17. 
   
   
   
   
  18. 
   
   
   
   
    
    
    
    
     
     }



来自manzi11的回答。多次用多次循环，小循环的计算结果加上大循环的运算结果 

by wolf96 2017/7/10





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