光是横波.在垂直于光的传播方向的平面内光波振动(即E矢量振动)
庞加莱球是用图形来形象描述光束偏振态的方法，有助于斯托克斯参数可视化。琼斯矢量表示的所有基本偏振态都被映射到庞加莱球的表面。为定义参量在庞加莱球上的位置，可根据表示椭圆的参量偏振方位角Ψ，椭圆率χ获得 。如图 1.1所示：
图 1.1 椭圆偏振参量图
椭圆的方位角Ψ是椭圆主轴与 x 轴正方向之间的夹角，它决定了椭圆在该平面内的取向，椭圆率χ定义为 tan χ= ± b/ a，其中 a 为椭圆半长轴，b 为椭圆半短轴。当 χ=0时，表示线性偏振光， χ=±π/4时，表示圆偏振光，若 χ=+π /4时，称为左旋圆偏振光， χ=-π /4时称为右旋圆偏振光。
图 1.2 庞加莱球
如图 1.2 所示庞加莱球以S0 为半径，斯托克斯参数S1 、S2 、S3 分别对应 x， y， z 坐标轴的球面坐标系。可根据相关公式可推导出：
S1= S0cos(2χ )cos(2Ψ ) （2-20）
S2= S0cos(2χ )sin(2Ψ) （2-21）
S3=S0sin(2χ ) （2-22）
庞加莱球球面上所有点对应的都是完全偏振光（P=1），赤道上的点表示线性偏振光，北半球球面上的点表示左椭圆偏振光，北极表示左旋圆偏振光（LCP）；南半球球面上的点表示右椭圆偏振光，南极表示右旋圆偏振光（RCP）。庞加莱球球内除球心外的点表示部分偏振光（0<P<1），球心代表完全非偏振光（P=0）。
液晶偏振光栅的的 阈值电压 也称为 弗雷德里克兹转变条件 是液晶偏振光栅电光特性的一个重要参量。当给液晶盒施加的电压小于阈值电压时，液晶盒内的液晶分子指向矢排布几乎不会发生变化。当给液晶盒施加的电压大于阈值电压时，最低的能量配置就会失真，液晶分子指向矢的最大倾角将不再为零。
临界厚度是指使制备出的 LCPG 无缺陷的最大盒厚，用cd 表示。在满足液晶层相位延迟的条件下， 保留足够的安全边际 ，一般选取的液晶层临界厚度为d<dc0.5 。
假设 LCPG 的液晶盒厚小于临界厚度，当施加阈值电压时，LCPG 液晶层中心处应有液晶分子指向矢的最大倾角 θm=0，将此条件带入到式（3-13）中可得：
（3-13）
当施加的电压大于阈值电压时，液晶分子指向矢的最大倾角将不再为零，且各个位置的液晶分子指向矢倾角将根据所施加电压的大小而排布，进而通过给液晶盒施加不同的电压改变相位延迟量来控制零、一级衍射光之间的能量分布，此即为液晶偏振光栅的电光调节特性。
衍射效率定义为输出强度与输入强度之比：
由此可推导出正入射下的理想衍射效率：
（3-24）
（3-25）
其中 η m是 m 级衍射效率，S’3 = S3 / S0是归一化斯托克斯参数,对应于入射偏振的椭圆率。由方程（3-24）、（3-25）可以看出 液晶偏振光栅只有三个衍射级:0 级和±1级 ，衍射级间的强度分布，取决于 相位延迟和入射偏振 。
当液晶层的双折射 相位延迟量为的奇数倍时 ，零级衍射将为零，且所有的光将偏转到±1 级。
入射光是 右旋圆偏振光 （Right Handed Circular Polarization，RCP），S’3=-1 ，那么衍射效率将是 η +1 =1h和 η - 1 =0，所有通过 LCPG 的光被衍射到+1 级，如图 1.3（a）所示。
如果入射光是 左旋圆偏振光 （Left Handed Circular Polarization，LCP），S’3=+1 ，所有的光被衍射到-1 级，如图 1.3（b）所示。当 LCPG 处于高电压时，入射光在轴上透射（零级衍射方向），如图 1.3（c）所示。理论上可以实现一个单一级的衍射效率为 100%。
图1.3 LCPG的衍射特性
右旋圆偏光入射（b）左旋圆偏光入射 (c)高电压下光束发生透射
由公式（3-24）（3-25）可知，通过改变相位延迟量和入射光的偏振态可以控制 0 级光和±1 级光的衍射效率，可以得出 LCPG 同时具有电光可调性和偏振可调性。
由于液晶偏振光栅是双折射光栅，衍射角由光栅方程决定。
其中 θ in 是入射角， θ m 是透射光的衍射角，并且 m={-1,0，+1}是衍射级。由于上述特性，LCPG 可以有效地衍射圆偏振光到基于输入光的偏振旋光性的第一阶中的一个。且 LCPG 选择小角度入射时可以保持高的衍射效率。
利用理论与仿真分析发现 液晶偏振光栅相位为半波延迟 ， 入射光束为左旋或右旋圆偏振光时，出射光束全部偏转至一阶中的某一级，且衍射效率接近 100% ，为了验证 LCPG 的光束偏转特性，本文搭建单个 LCPG 光束偏转实验平台，对其进行实验验证。
根据液晶指向矢分布及液晶折射率各向异性的光学特性，液晶的双折射率为：
式中： θ 为液晶指向矢的倾斜角 ， n o ,n e 分别为液晶中寻常光和非寻常光的折射率， n eff 为液晶的有效折射率。由于施加电压驱动液晶分子转动，倾斜角发生变化，导致 Δ n D 发生变化，在厚度 d 不变的情况下由公式(3-24)(3-25)(3-37)可知衍射效率随之发生变化。值得注意的是上式中的 n eff ， n 均取得的是一个等效平均值。
利用这一理论，在上述实验的基础上，用信号发生器给液晶偏振光栅施加不同电压，得到一部分结果图如图 1.4 所示：
图 1.4 施加不同电压时的结果图
(a)施加 0V 电压 (b)施加 1.8V 电压 (c)施加 2V 电压
由图 3.14 可知，实验中发现所加电压为
二进制粗偏模块设计遵循几何级数，是一种较简单的 LCPGs 级联方式 [16] 。结构如图 1.5 所示，由多个 LCHWPs 和 LCPGs 堆叠而成。LCHWP 控制每个 LCPG 的偏振方向。第一级的衍射角决定了粗偏控制系统的角度分辨率，下一级衍射角是前一级衍射角的两倍（如 1.5°，3°，6°等）。
图 1.5 二进制粗偏模块设计
二进制粗偏模块设计方式能实现的总偏转角个数 S 和最大光束偏转角度Ω1与LCPG 个数 N 的关系表达式为:
其中 r 为二进制粗偏模块设计的角度分辨率， N 为 LCPG 的位置编号。
