卡尔曼滤波（Kalman filtering）是一种利用线性系统状态方程，通过系统输入输出观测数据，对系统状态进行最优估计的算法。由于观测数据中包括系统中的噪声和干扰的影响，所以最优估计也可看作是滤波过程。详情见：卡尔曼滤波简介
MPU6050的解算主要有三种姿态融合算法：四元数法 、一阶互补算法和卡尔曼滤波算法。我们常用的DMP库使用的是四元数法，本文采用卡尔曼滤波算法，使用RT-Thread国产操作系统，利用env工具进行串口、模拟IIC环境配置，使用10ms的线程进行卡尔曼滤波解算。
因为MPU6050没有包含磁力计，故无法对yaw轴运用卡尔曼滤波算法。利用MPU6050中加速度传感器采集到的xyz轴的加速度和陀螺仪采集到的xyz轴的角速度，进行进一步处理，得到pitch轴和roll轴的原始角度，利用原始角度和角速度进行卡尔曼滤波处理，最终得到滤波后的角度数据。
在此公布所有计算公式和部分源代码，所有源代码请见最下方的下载链接
static float Q_angle = 0.001; //角度数据置信度，角度噪声的协方差
static float Q_gyro = 0.003; //角速度数据置信度，角速度噪声的协方差
static float R_angle = 0.5; //加速度计测量噪声的协方差
static float dt = 0.01; //采样周期即计算任务周期10ms
static float Q_bias; //Q_bias:陀螺仪的偏差
static float K_0, K_1; //卡尔曼增益 K_0:用于计算最优估计值 K_1:用于计算最优估计值的偏差
static float PP[2][2] = { { 1, 0 },{ 0, 1 } };//过程协方差矩阵P，初始值为单位阵
先验估计方程，公式1：X(k|k-1) = AX(k-1|k-1) + BU(k) + (W(k))
应用到本文得：
其中newGyro代表陀螺仪测得得角速度，代码如下↓
/*
1. 先验估计
* * *公式1：X(k|k-1) = AX(k-1|k-1) + BU(k) + (W(k))
X = (Angle,Q_bias)
A(1,1) = 1,A(1,2) = -dt
A(2,1) = 0,A(2,2) = 1
注：上下连“[”代表矩阵
预测当前角度值：
[ angle ] [1 -dt][ angle ] [dt]
[ Q_bias] = [0 1 ][ Q_bias] + [ 0] * newGyro(加速度计测量值)
故
angle = angle - Q_bias*dt + newGyro * dt
Q_bias = Q_bias
*/
pitch_kalman += (gyro - Q_bias) * dt; //状态方程,角度值等于上次最优角度加角速度减零漂后积分
公式2：P(k|k-1)=AP(k-1|k-1)A^T + Q
由先验估计有系统参数
系统过程协方差Q定义
令D( angle ) = Q_angle ，D( Q_bias ) = Q_gyro
设上一次预测协方差矩阵为P(k-1)
本次预测协方差矩阵P(k)
将以上参数带入预测协方差公式得：
代码如下↓
/*
2. 预测协方差矩阵
* * *公式2：P(k|k-1)=AP(k-1|k-1)A^T + Q
*/
//由于dt^2太小，故dt^2省略
PP[0][0] = PP[0][0] + Q_angle - (PP[0][1] + PP[1][0])*dt;
PP[0][1] = PP[0][1] - PP[1][1]*dt;
PP[1][0] = PP[1][0] - PP[1][1]*dt;
PP[1][1] = PP[1][1] + Q_gyro;
系统测量方程 Z(k) = HX(k) + V(k)，其中系统测量系数 H = [1, 0]。
因为陀螺仪输出自带噪声，所以measure = newAngle。
卡尔曼增益系数方程，公式3：
带入本文得：
代码如下↓
/*
4. 计算卡尔曼增益
* * *公式3：Kg(k)= P(k|k-1)H^T/(HP(k|k-1)H^T+R)
Kg = (K_0,K_1) 对应angle,Q_bias增益
H = (1,0)
*/
K_0 = PP[0][0] / (PP[0][0] + R_angle);
K_1 = PP[1][0] / (PP[0][0] + R_angle);
最优化估计值方程，公式4：X(k|k) = X(k|k-1) + kg(k)[z(k) - HX(k|k-1)]
带入本文得：
代码如下↓
/*
5. 计算当前最优化估计值
* * *公式4：X(k|k) = X(k|k-1) + kg(k)[z(k) - HX(k|k-1)]
angle = angle + K_0*(newAngle - angle)
Q_bias = Q_bias + K_1*(newAngle - angle)
*/
pitch_kalman = pitch_kalman + K_0 * (acc - pitch_kalman);
Q_bias = Q_bias + K_1 * (acc - pitch_kalman);
根据误差协方差得到公式5：P(k|k)=[I-Kg(k)H]P(k|k-1)
带入本文得
代码如下↓
/*
6. 更新协方差矩阵
* * *公式5：P(k|k)=[I-Kg(k)H]P(k|k-1)
*/
PP[0][0] = PP[0][0] - K_0 * PP[0][0];
PP[0][1] = PP[0][1] - K_0 * PP[0][1];
PP[1][0] = PP[1][0] - K_1 * PP[0][0];
PP[1][1] = PP[1][1] - K_1 * PP[0][1];
下面是roll轴完整处理代码
void Kalman_Cal_Roll(float acc,float gyro) //卡尔曼滤波roll轴计算
{
static float Q_bias; //Q_bias:陀螺仪的偏差 Angle_err:角度偏量
static float K_0, K_1; //卡尔曼增益 K_0:用于计算最优估计值 K_1:用于计算最优估计值的偏差 t_0/1:中间变量
static float PP[2][2] = { { 1, 0 },{ 0, 1 } };//过程协方差矩阵P，初始值为单位阵
roll_kalman += (gyro - Q_bias) * dt; //状态方程,角度值等于上次最优角度加角速度减零漂后积分
PP[0][0] = PP[0][0] + Q_angle - (PP[0][1] + PP[1][0])*dt;
PP[0][1] = PP[0][1] - PP[1][1]*dt;
PP[1][0] = PP[1][0] - PP[1][1]*dt;
PP[1][1] = PP[1][1] + Q_gyro;
K_0 = PP[0][0] / (PP[0][0] + R_angle);
K_1 = PP[1][0] / (PP[0][0] + R_angle);
roll_kalman = roll_kalman + K_0 * (acc - roll_kalman);
Q_bias = Q_bias + K_1 * (acc - roll_kalman);
PP[0][0] = PP[0][0] - K_0 * PP[0][0];
PP[0][1] = PP[0][1] - K_0 * PP[0][1];
PP[1][0] = PP[1][0] - K_1 * PP[0][0];
PP[1][1] = PP[1][1] - K_1 * PP[0][1];
}
完整工程Gitee链接：
https://gitee.com/lebron-meng/rt-thread-kalman-filtering.git
参考资料：
图说卡尔曼滤波，一份通俗易懂的教程
从放弃到精通！卡尔曼滤波从理论到实践~
CH32读取MPU6050姿态数据(卡尔曼滤波法)