我一直在尝试用黎曼和求解积分。我的函数有 3 个参数 a、b、d,因此 a 是下限 b 是上限,d 是其中的部分a +(n-1)*d < b
。到目前为止,这是我的代码。我的输出是28.652667999999572
我应该得到的是28.666650000000388
。另外,如果输入 b 低于 a,则必须进行计算,但我已经解决了该问题。
def integral(a, b, d):
if a > b:
a,b = b,a
delta_x = float((b-a)/1000)
j = abs((b-a)/delta_x)
i = int(j)
n = s = 0
x = a
while n < i:
delta_A = (x**2+3*x+4) * delta_x
x += delta_x
s += delta_A
n += 1
return abs(s)
print(integral(1,3,0.01))
这里没有错误,无论是算法还是代码(或Python)。黎曼和是积分的近似值,本身并不“精确”。您可以近似宽度为 dx 的(小)条纹的面积,例如在 x 和 x+dx 之间,并且 f(x) 与 f(x) 的左上角具有相同宽度和高度的矩形面积。如果函数在从 x 变为 x+dx 时改变其值,则矩形的面积将偏离真实积分。
正如您所注意到的,您可以通过制作越来越薄的切片来使近似值更接近,但代价是更多的计算工作量和时间。
在您的示例中,函数为 f(x) = x^2 + 3*x + 4,并且 [1.0,3.0) 中 x 的精确积分为 28 2/3 或 28.66666...
矩形的近似是一个粗略的近似,你无法改变它。但您可以更改的是代码评估所需的时间,例如 10^8 个步骤而不是 10^3 个步骤。看这段代码:
def riemann(a, b, dx):
if a > b:
a,b = b,a
# dx = (b-a)/n
n = int((b - a) / dx)
s = 0.0
x = a
for i in xrange(n):
f_i = (x + 3.0) * x + 4.0
s += f_i
x += dx
return s * dx
在这里,我使用了 3 个加速技巧,以及一个提高精度的技巧。首先,如果您编写一个循环并且提前知道重复次数,则使用 for 循环而不是 while 循环。速度更快了。 (顺便说一句,循环变量通常是i
, j
, k
...而极限值或最终值是n
)。其次,使用xrange
代替range
对于 python 2.x 的用户来说速度更快。第三,经常计算多项式时要因式分解。从代码中你应该明白我在这里的意思。这样,结果在数值上是稳定的。最后一个技巧:循环中不依赖于循环变量的操作可以在循环结束后提取并应用。在这里,最后与 dx 相乘。
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