我有一个矩阵 A = np.array([[1,1,1],[1,2,3],[4,4,4]]) 我只想要新矩阵中的线性独立行。答案可能是 A_new = np.array([1,1,1],[1,2,3]]) 或 A_new = np.array([1,2,3],[4,4,4])
由于我有一个非常大的矩阵，所以我需要将矩阵分解为更小的线性独立满秩矩阵。有人可以帮忙吗？
有很多方法可以做到这一点，哪种方法最好取决于您的需求。而且，正如您在声明中指出的那样，甚至没有独特的输出。
实现此目的的一种方法是使用 Gram-Schmidt 查找正交基，其中该基中的前 $k$ 向量与前 $k$ 独立行具有相同的跨度。如果在任何步骤中发现线性相关性，请从矩阵中删除该行并继续该过程。
使用 numpy 执行此操作的一个简单方法是，
q,r = np.linalg.qr(A.T)
然后删除 R_{i,i} 为零的任何列。
例如，你可以这样做
A[np.abs(np.diag(R))>=1e-10]
虽然这在精确算术中可以完美地工作，但在有限精度下可能效果不佳。几乎任何矩阵在数值上都是独立的，因此您需要某种阈值来确定是否存在线性相关性。如果您使用内置的 QR 方法，则必须确保不依赖于之前删除的列。
如果您需要更高的稳定性，您可以迭代解决最小二乘问题
A.T[:,dependent_cols] x = A.T[:,col_to_check]
使用稳定的直接方法。如果你能准确地解决这个问题，那么 A.T[:,k] 取决于先前的向量，其组合由 x 给出。
使用哪个求解器也可能由您的数据类型决定。
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