Problem

我有一组方程，其中变量用小写变量表示，常量用大写变量表示

A = a + b  
B = c + d  
C = a + b + c + d + e  

我在具有两列的 pandas DataFrame 中提供了有关这些方程结构的信息：常数 and 变量

E.g.

df = pd.DataFrame([['A','a'],['A','b'],['B','c'],['B','d'],['C','a'],['C','b'], 
['C','c'],['C','d'],['C','e']],columns=['Constants','Variables'])

然后我使用 NetworkX 将其转换为稀疏 CSC 矩阵

table = nx.bipartite.biadjacency_matrix(nx.from_pandas_dataframe(df,'Constants','Variables')  
,df.Constants.unique(),df.Variables.unique(),format='csc')

当转换为稠密矩阵时，table看起来像下面这样

矩阵([[1, 1, 0, 0, 0],[0, 0, 1, 1, 0],[1, 1, 1, 1, 1]], dtype=int64)

我在这里想要的是找到哪些变量是可解的（在这个例子中，只有e是可解的）并且对于每个可解变量，其值取决于什么常量（在这种情况下，因为e = C-B-A，它取决于A, B, and C)

尝试解决方案

我首先尝试使用 rref 来求解可解变量。我使用了符号库 sympy 和函数 sympy.Matrix.rref，这正是我想要的，因为任何可解变量都会有自己的行，其中几乎全是零和 1 个一，我可以逐行检查。

然而，这个解决方案并不稳定。首先，它非常慢，并且没有利用我的数据集可能非常稀疏的事实。此外， rref 对于浮点的处理不太好。所以我决定转向另一种方法，动机是从欠定系统中删除不可解的方程，建议使用 svd

方便的是，scipy.sparse库中有一个svd函数，即scipy.sparse.linalg.svds。然而，由于我缺乏线性代数背景，我不明白在我的桌子上运行这个函数所输出的结果，或者如何使用这些结果来获得我想要的结果。

问题中的更多细节

1. 我的问题中每个变量的系数都是 1。这就是如何在前面显示的两列 pandas DataFrame 中表达数据
2. 我的实际例子中的绝大多数变量都是不可解的。目标是找到少数可解决的问题
3. 如果替代方法符合这个问题的限制，我非常愿意尝试它。

这是我第一次发布问题，所以如果这不完全遵循准则，我深表歉意。请留下建设性的批评，但要温和！

您正在解决的系统具有以下形式

[ 1 1 0 0 0 ] [a]   [A]
[ 0 0 1 1 0 ] [b] = [B]
[ 1 1 1 1 1 ] [c]   [C]
              [d]
              [e]

即五个变量的三个方程a, b, c, d, e。正如您的问题中提到的答案所提到的，人们可以通过以下方法解决这种不确定的系统伪逆，Numpy 直接提供了pinv功能。

Since M具有线性独立的行，在这种情况下，伪逆具有以下属性：M.pinv(M) = I, where I表示单位矩阵（在本例中为 3x3）。因此，正式地，我们可以将解决方案写为：

v = pinv(M) . b

where v是 5 分量解向量，并且b表示右侧 3 分量向量[A, B, C]。然而，这个解决方案并不是唯一的，因为我们可以添加来自所谓的内核或零空间矩阵的M（即向量w为此M.w=0）这仍然是一个解决方案：

M.(v + w) = M.v + M.w = b + 0 = b

因此，唯一有唯一解的变量是那些来自零空间的所有可能向量的相应分量的变量M为零。换句话说，如果将零空间的基组装成一个矩阵（每列一个基向量），那么“可解变量”将对应于该矩阵的零行（列的任何线性组合的相应分量将那么也为零）。

让我们将其应用到您的特定示例中：

import numpy as np
from numpy.linalg import pinv

M = [
    [1, 1, 0, 0, 0],
    [0, 0, 1, 1, 0],
    [1, 1, 1, 1, 1]
]

print(pinv(M))

[[ 5.00000000e-01 -2.01966890e-16  1.54302378e-16]
 [ 5.00000000e-01  1.48779676e-16 -2.10806254e-16]
 [-8.76351626e-17  5.00000000e-01  8.66819360e-17]
 [-2.60659800e-17  5.00000000e-01  3.43000417e-17]
 [-1.00000000e+00 -1.00000000e+00  1.00000000e+00]]

从这个伪逆，我们看到变量e（最后一行）确实可以表达为- A - B + C。然而，它也“预测”a=A/2 and b=A/2。为了消除这些非唯一的解决方案（同样有效也a=A and b=0例如），让我们借用 SciPy 的函数来计算零空间Cookbook:

print(nullspace(M))

[[ 5.00000000e-01 -5.00000000e-01]
 [-5.00000000e-01  5.00000000e-01]
 [-5.00000000e-01 -5.00000000e-01]
 [ 5.00000000e-01  5.00000000e-01]
 [-1.77302319e-16  2.22044605e-16]]

该函数已经返回组装成矩阵的零空间的基础（每列一个向量），我们看到，在合理的精度内，唯一的零行确实只是与变量对应的最后一行e.

EDIT:

对于方程组

A = a + b, B = b + c, C = a + c

对应的矩阵M is

[ 1 1 0 ]
[ 0 1 1 ]
[ 1 0 1 ]

在这里我们看到矩阵实际上是方阵，并且是可逆的（行列式是2）。因此，伪逆与“正常”逆一致：

[[ 0.5 -0.5  0.5]
 [ 0.5  0.5 -0.5]
 [-0.5  0.5  0.5]]

对应于解决方案a = (A - B + C)/2, .... Since M是可逆的，它的内核/零空间是空的，这就是cookbook函数只返回的原因[]。为了了解这一点，让我们使用内核的定义 - 它由所有非零向量组成x这样M.x = 0。然而，自从M^{-1}存在，x给出为x = M^{-1} . 0 = 0这是一个矛盾。从形式上来说，这意味着找到的解决方案是唯一的（或者所有变量都是“可解的”）。