对于回归问题，可以用模型预测值与真实值比较，用均方误差这样的损失函数表示误差，迭代使误差最小训练模型。
那么分类问题是否可以用线性回归模型预测呢。最简单的方法就是用softmax方法，softmax的原理：
- 以in_features个特征，out_features个类别为例。比如用花瓣大小、生长位置、花瓣形状三个因素，判断荷花和梅花，则in_features为3，out_feautures为2。
模型为
y 1 = x 11 w 11 + x 12 w 12 + x 13 w 13 + b 1 y 2 = x 21 w 21 + x 22 w 22 + x 23 w 23 + b 2 y_1=x_{11}w_{11}+x_{12}w_{12}+x_{13}w_{13}+b_1 \\ y_2=x_{21}w_{21}+x_{22}w_{22}+x_{23}w_{23}+b_2 y1=x11w11+x12w12+x13w13+b1y2=x21w21+x22w22+x23w23+b2
比如：labels=[‘荷花’,‘梅花’]。输出 y 1 = 1 , y 2 = 3 y_1=1,y_2=3 y1=1,y2=3，则表示预测结果为梅花。输出 y 1 = 2 , y 2 = 1 y_1=2,y_2=1 y1=2,y2=1表示预测结果为荷花。即输出为 a r g m a x ( y i ) argmax(y_i) argmax(yi)
o u t 1 = e x p ( y 1 ) ∑ e x p ( y i ) o u t 2 = e x p ( y 2 ) ∑ e x p ( y i ) out_1=\frac{exp(y_1)}{\sum{exp(y_i)}}\\ out_2=\frac{exp(y_2)}{\sum{exp(y_i)}}\\ out1=∑exp(yi)exp(y1)out2=∑exp(yi)exp(y2)
可以看出 o u t 1 + o u t 2 = 1 out_1+out_2=1 out1+out2=1，也就是说 o u t i out_i outi是一个合法的概率分布，并且输入值大小和概率大小一直。因此，通常就把softmax计算结果，叫做out_features个分类的预测概率。即： o u t i out_i outi为labels[i]的概率。
从以上原理可以看出，多少个分类模型就需要几个输出(即线型方程个数)。
理论上讲，二分类问题，一个线性方程就ok了。但是使用softmax方法就必须2个方程，因为要为每个分类单独计算概率。
通常softmax函数会同时计算N个样本的数据，即输入形状为(N,in_feature)。函数实现如下：
def softmax(x):
'''计算形状为(N,in_features)的x的softmax'''
x_exp=torch.exp(x)
return x_exp/x_exp.sum(dim=-1,keepdim=True)
交叉熵的含义可以参考一文搞懂熵(Entropy),交叉熵(Cross-Entropy)从浅入深讲的非常通俗易懂。这里就不再详述了，这里仅简单的说明一下。
对于有out_features个类别分类的问题，可以用softmax函数把输出转换为概率。按照把正确分类对应的输出概率最大化，不断迭代就可以完成模型训练。通常我们不直接用最大化概率的方法，而是对概率进一步进行运算处理。
假如softmax输出概率为 p = [ o u t 1 , o u t 2 ] p=[out_1,out_2] p=[out1,out2]，真实概率为 p t r u e = [ 0 , 1 ] p_true=[0,1] ptrue=[0,1]则交叉熵函数算法为
-log(p)*p_true
假如softmax输出概率为 p = [ o u t 1 , o u t 2 ] p=[out_1,out_2] p=[out1,out2]，真实标签用序号表示 l a b e l t r u e = 1 label_true=1 labeltrue=1（结果为第一个标签，即梅花），则交叉熵函数算法为
p_log=-log(p)
loss=p_log[label_true]
实际上softmax通常会一次计算很多个样本，形状通常为(N,out_feature)，labels通常就是一个长度为N的数组，即每个样本只有一个结果，表示序号。因此交叉熵函数算法为：
def crossloss(y_softmax,y_label):#参数为torch.tensor类型
'''根据softmax计算交叉熵。
输入y为计算的N个样本的softmax概率,形状为(N,in_feautures)。
y_label为真实标签，即每个样本真实分类的序号，形状为(N,)。'''
log_softmax=-torch.log(y_softmax)
index=y_label.view(-1,1) #转换为列形式
entropy_arr=log_softmax.gather(dim=1,index=index) #label的值，即序号即概率为1，指选概率为1的值就是softmax的负对数的期望，即交叉熵。
return entropy_arr.mean()
import torch
from torch import nn, optim
import matplotlib.pyplot as plt
# 准备数据
N=100
x_train1=torch.tensor([1,1])+torch.normal(mean=0, std=0.2, size=[N//2,2])
y_train1=torch.zeros(N//2,1,dtype=torch.long)
x_train2=torch.tensor([2,2])+torch.normal(mean=0, std=0.2, size=[N//2,2])
y_train2=torch.ones(N//2,1,dtype=torch.long)
x_train=torch.cat([x_train1, x_train2])
y_train=torch.cat([y_train1, y_train2])
# 显示数据
plt.scatter(x_train[:,0],x_train[:,1],c=y_train[:,0])
plt.colorbar()
plt.show()
# 建立模型
def softmax(x):
'''计算形状为(N,in_featrues)的x的softmax'''
x_exp=torch.exp(x)
return x_exp/x_exp.sum(dim=-1,keepdim=True)
class Net(nn.Module):
def __init__(self, in_features, out_features):
super().__init__()
self.layer1=nn.Linear(in_features,out_features)
def forward(self, x):
return softmax(self.layer1(x))
net = Net(2,2)
# 配置模型
def crossloss(y_softmax,y_label):
'''根据softmax计算交叉熵。
输入y为计算的N个样本的softmax概率,形状为(N,in_feautures)。
y_true为真实标签，即每个样本真实分类的序号，形状为(N,)。'''
log_softmax=-torch.log(y_softmax)
label=y_label.view(-1,1) #转换为列形式
entropy_arr=log_softmax.gather(dim=1,index=label) #label的值，即序号即概率为1，指选概率为1的值就是softmax的负对数的期望，即交叉熵。
return entropy_arr.mean()
nn.init.normal_(net.layer1.weight, mean=0, std=0.1)
nn.init.constant_(net.layer1.bias, val=0)
optimizer = optim.SGD(net.parameters(),lr=0.03)
# 训练模型
for epoch in range(1001):
y_predict = net(x_train)
loss=crossloss(y_predict, y_train.view(-1)) #y_predict形状(N,2), y参数形状(N,)
loss.backward()
optimizer.step()
optimizer.zero_grad()
if(epoch%100==0):
print(f"epoch:{epoch}, loss:{loss.data.item()}")
# 查看结果
p = softmax(y_predict).data.numpy()
p1 = p[:,0]<p[:,1]
plt.scatter(x_train[:,0], x_train[:,1], c=p1) #直接用分类1的概率表示颜色绘制
plt.colorbar()
plt.show()
pytorch内置了softmax和CrossEntropyLoss功能。
pytorch中的softmax函数用法：
torch.softmax实际上是
torch.nn.functional.softmax的别名。
>>> x=torch.arange(12,dtype=torch.float).view(4,3)
>>> x
tensor([[ 0., 1., 2.],
[ 3., 4., 5.],
[ 6., 7., 8.],
[ 9., 10., 11.]])
>>> torch.softmax(x, dim=1)
tensor([[0.0900, 0.2447, 0.6652],
[0.0900, 0.2447, 0.6652],
[0.0900, 0.2447, 0.6652],
[0.0900, 0.2447, 0.6652]])
pytorch中softmax还可以作为层layer。因此nn模块中有一个Softmax类，根据Softmax类创建对象后可以当做函数用。
+nn.Softmax(dim=None)：Softmax类构造函数只有一个参数dim
>>> layer=nn.Softmax(dim=-1)
>>> layer(x)
tensor([[0.0900, 0.2447, 0.6652],
[0.0900, 0.2447, 0.6652],
[0.0900, 0.2447, 0.6652],
[0.0900, 0.2447, 0.6652]])
pytoch中的交叉熵损失函数类，实际上包含了softmax运算，因此，使用CrossEntropyLoss时，就不需要再使用softmax函数了。
import torch
from torch import nn, optim
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
N=100
x_train1=torch.tensor([1,1])+torch.normal(mean=0, std=0.2, size=[N//2,2])
y_train1=torch.zeros(N//2,1,dtype=torch.long)
x_train2=torch.tensor([2,2])+torch.normal(mean=0, std=0.2, size=[N//2,2])
y_train2=torch.ones(N//2,1,dtype=torch.long)
x_train=torch.cat([x_train1, x_train2])
y_train=torch.cat([y_train1, y_train2])
# 显示数据
plt.scatter(x_train[:,0],x_train[:,1],c=y_train[:,0])
plt.colorbar()
plt.show()
class Net(nn.Module):
def __init__(self, in_features, out_features):
super().__init__()
self.layer1=nn.Linear(in_features,out_features)
#nn.Softmax(dim=1) #CrossEntropyLoss包含了softmax，log，和NLLloss
def forward(self, x):
return self.layer1(x)
net = Net(2,2)
nn.init.normal_(net.layer1.weight, mean=0, std=0.1)
nn.init.constant_(net.layer1.bias, val=0)
crossloss = nn.CrossEntropyLoss()
optimizer = optim.SGD(net.parameters(),lr=0.03)
for epoch in range(1001):
y_predict = net(x_train)
loss=crossloss(y_predict, y_train.view(-1)) #y_predict形状(N,2), y参数形状(N,)
loss.backward()
optimizer.step()
optimizer.zero_grad()
if(epoch%100==0):
p = torch.softmax(y_predict,dim=-1).data.numpy()
print(f"epoch:{epoch}, probability:{p[0]}, loss:{loss}")
# 可视化显示
plt.scatter(x_train[:,0], x_train[:,1], c=p[:,0]) #直接用分类1的概率表示颜色绘制
plt.colorbar()
plt.show()
## 分别用0和1表示两个分类
p[p[:,0]>p[:,1]]=0
p[p[:,0]<p[:,1]]=1
plt.scatter(x_train[:,0], x_train[:,1], c=p[:,0]) #直接用分类1的概率表示颜色绘制
plt.colorbar()
plt.show()