正态分布概率密度函数的曲线如上图所示,若
x
x
x~
N
(
μ
,
σ
2
)
N(\mu,\sigma ^{2})
N(μ,σ2),则其概率密度函数为
f
(
x
)
=
1
2
π
σ
e
−
(
x
−
μ
)
2
2
σ
2
f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }e^{-\frac{(x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}
f(x)=2πσ1e−2σ2(x−μ)2。 正态分布是连续型随机变量的理论分布,对于任何正态分布随机变量x落入任意区间(a,b)的概率可以表示为P(a<x<b),其概率的计算是求概率密度函数在该区间的定积分。
P
(
a
<
x
<
b
)
=
∫
a
b
1
2
π
σ
e
−
(
x
−
μ
)
2
2
σ
2
d
x
P(a<x<b)=\int _{a}^{b} \frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }e^{-\frac{(x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}dx
P(a<x<b)=∫ab2πσ1e−2σ2(x−μ)2dx
在问题一中我们以一个换刀周期内合格零件的平均损失费用的期望值E(s)作为工序效益好坏的评价指标。确立的评价指标E(s)为一个换刀周期内的损失费用期望总和E(w)与生产的合格零件的期望值E(q)之比,而一个换刀周期内合格零件平均损失费用的期望值越小,则说明效益越好,即目标函数为
m
i
n
E
(
s
)
=
E
(
w
)
E
(
q
)
minE(s)=\frac{E(w)}{E(q)}
minE(s)=E(q)E(w)
A.第一种情况:换刀前工序正常
图2 换刀前工序正常情况
换刀前工序正常情况如图2所示,损失费用
w
1
w_{1}
w1为检查费和换刀费之和。
w
1
=
[
m
n
]
t
+
k
w_{1}=[\frac{m}{n}]t+k
w1=[nm]t+k
其中,m为一个换刀周期内生产的零件数,即换刀周期;n为一个检查周期内产生的零件数,即检查周期;
[
m
n
]
[\frac{m}{n}]
[nm]为一个换刀周期内的检查次数;t为一次检查的费用;k为未发现故障时更换一把新刀具的费用。 根据正态分布概率密度函数计算出第一种情况下的事件发生的概率
p
1
p_{1}
p1为
p
1
=
1
−
∫
1
m
1
2
π
σ
e
−
(
x
−
μ
)
2
2
σ
2
d
x
0.95
p_{1}=1-\frac{\int _{1}^{m} \frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }e^{-\frac{(x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}dx}{0.95}
p1=1−0.95∫1m2πσ1e−2σ2(x−μ)2dx
则换刀前工序正常的损失费用期望
E
1
(
w
)
E_{1}(w)
E1(w)为
E
1
(
w
)
=
w
1
p
1
E_{1}(w)=w_{1}p_{1}
E1(w)=w1p1
换刀前工序正常所生产的合格零件数恰好等于一个换刀周期内生产的零件数,即
q
1
=
m
q_{1}=m
q1=m,则换刀前工序正常所生产合格零件的期望值
E
1
(
q
)
E_{1}(q)
E1(q)为
E
1
(
q
)
=
m
p
1
E_{1}(q)=mp_{1}
E1(q)=mp1
B.第二种情况:换刀前工序故障
图3 换刀前工序故障情况
换刀前工序故障情况如图3所示。当换刀前工序故障,设出现故障之前已经生产了
n
s
n_{s}
ns 个零件,由问题一的假定可知
n
s
n_{s}
ns 个零件都为合格品,则损失费用
w
2
w_{2}
w2为检查费、故障维修费和零件损失费之和。
w
2
=
(
[
n
s
n
]
+
1
)
t
+
d
+
[
(
[
n
s
n
]
+
1
)
n
−
n
s
]
f
w_{2}=\left ([\frac{n_{s}}{n}]+1 \right )t+d+\left [\left ([\frac{n_{s}}{n}]+1 \right )n-n_{s} \right ]f
w2=([nns]+1)t+d+[([nns]+1)n−ns]f
其中,
[
n
s
n
]
+
1
[\frac{n_{s}}{n}]+1
[nns]+1为一个换刀周期内的检查次数;
[
m
n
]
[\frac{m}{n}]
[nm]为一个换刀周期内的检查次数;d为发现故障进行调节使恢复正常的平均费用;f为故障时产出的零件损失费用。 根据正态分布概率密度函数计算出第二种情况下的事件发生的概率
p
2
p_{2}
p2为
p
2
=
∫
n
s
n
s
+
1
1
2
π
σ
e
−
(
x
−
μ
)
2
2
σ
2
d
x
0.95
≈
1
2
π
σ
e
−
(
n
s
+
1
−
μ
)
2
2
σ
2
0.95
p_{2}=\frac{\int _{n_{s}}^{n_{s+1}} \frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }e^{-\frac{(x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}dx}{0.95}\approx\frac{\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }e^{-\frac{(n_{s+1}-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}}{0.95}
p2=0.95∫nsns+12πσ1e−2σ2(x−μ)2dx≈0.952πσ1e−2σ2(ns+1−μ)2
则换刀前工序故障的损失费用期望
E
2
(
w
)
E_{2}(w)
E2(w)为
E
2
(
w
)
=
∑
n
s
=
1
m
−
1
w
2
p
2
E_{2}(w)=\sum _{n_{s}=1}^{m-1}w_{2}p_{2}
E2(w)=ns=1∑m−1w2p2
换刀前工序故障所生产的合格零件数恰好等于故障之前已经生产的零件数,即
q
2
=
n
s
q_{2}=n_{s}
q2=ns ,则换刀前工序故障所生产合格零件的期望值
E
2
(
q
)
E_{2}(q)
E2(q)为
E
2
(
q
)
=
∑
n
s
=
1
m
−
1
n
s
p
2
E_{2}(q)=\sum _{n_{s}=1}^{m-1}n_{s}p_{2}
E2(q)=ns=1∑m−1nsp2
问题一建立的模型为
m
i
n
E
(
s
)
=
E
(
w
)
E
(
q
)
s
.
t
.
{
E
(
w
)
=
E
1
(
w
)
+
E
2
(
w
)
=
w
1
p
1
+
∑
n
s
=
1
m
−
1
w
2
p
2
E
(
q
)
=
E
1
(
q
)
+
E
2
(
q
)
=
m
p
1
+
∑
n
s
=
1
m
−
1
n
s
p
2
\begin{matrix} minE(s)=\frac{E(w)}{E(q)}\\ s.t.\left \{ \begin{matrix} E(w)=E_{1}(w)+E_{2}(w)=w_{1}p_{1}+\sum _{n_{s}=1}^{m-1}w_{2}p_{2}\\ E(q)=E_{1}(q)+E_{2}(q)=mp_{1}+\sum _{n_{s}=1}^{m-1}n_{s}p_{2}\ _{}\ _{}\ _{}\ _{} \end{matrix} \right. \end{matrix}
minE(s)=E(q)E(w)s.t.{E(w)=E1(w)+E2(w)=w1p1+∑ns=1m−1w2p2E(q)=E1(q)+E2(q)=mp1+∑ns=1m−1nsp2
%problem 1
clear
clc
M=600;N=600;
t=20;d=4000;f=200;k=1500;
sigma=196.6292;mu=600;
for m=1:M
m
for n=1:N
w1=t*(m/n)+k;
S=normcdf(m,mu,sigma); %刀具生产零件故障概率
p1=1-S/0.95;
Ew1=w1*p1;
Ew2=0;Eq2=0;
for idx=1:m-1
num=floor(idx/n)+1;
w2=t*num+d+f*(n*num-idx);
p2=normpdf(idx+1,mu,sigma)/0.95; %刀具生产零件故障概率
Ew2=Ew2+w2*p2;
Eq2=Eq2+idx*p2;
end
Ew=Ew1+Ew2;
Eq1=m*p1;
Eq=Eq1+Eq2;
E(m,n)=Ew/Eq;
end
end
minE=min(min(E))
[minm,minn]=find(E==minE)
换刀前工序正常情况如图4所示,损失费用
w
1
w_{1}
w1为检查费、换刀费、误检停机费和零件损失费之和。
w
1
=
[
m
n
]
t
+
k
+
0.02
[
m
n
]
h
+
0.02
m
f
w_{1}=[\frac{m}{n}]t+k+0.02[\frac{m}{n}]h+0.02mf
w1=[nm]t+k+0.02[nm]h+0.02mf
根据正态分布概率密度函数计算出第一种情况下的事件发生的概率
p
1
p_{1}
p1为
p
1
=
1
−
∫
1
m
1
2
π
σ
e
−
(
x
−
μ
)
2
2
σ
2
d
x
0.95
p_{1}=1-\frac{\int _{1}^{m} \frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }e^{-\frac{(x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}dx}{0.95}
p1=1−0.95∫1m2πσ1e−2σ2(x−μ)2dx
则换刀前工序正常的损失费用期望
E
1
(
w
)
E_{1}(w)
E1(w)为
E
1
(
w
)
=
w
1
p
1
E_{1}(w)=w_{1}p_{1}
E1(w)=w1p1
换刀前工序正常所生产的合格零件数
q
1
=
0.98
m
q_{1}=0.98m
q1=0.98m,则换刀前工序正常所生产合格零件的期望值
E
1
(
q
)
E_{1}(q)
E1(q)为
E
1
(
q
)
=
0.98
m
p
1
E_{1}(q)=0.98mp_{1}
E1(q)=0.98mp1
B.第二种情况:换刀前工序故障
图5 换刀前工序故障情况
换刀前工序故障情况如图5所示。当换刀前工序故障,设出现故障之前已经生产了
n
s
n_{s}
ns 个零件,由问题二的假定可知
n
s
n_{s}
ns个零件不全为合格品,则损失费用
w
2
w_{2}
w2 为检查费、故障维修费、误检停机费和故障前后的零件损失费之和。
w
2
=
(
[
n
s
n
]
+
1
)
t
+
d
+
0.02
[
n
s
n
]
h
+
0.02
n
s
f
+
0.6
[
(
[
n
s
n
]
+
1
)
n
−
n
s
]
f
w_{2}=\left ([\frac{n_{s}}{n}]+1 \right )t+d+0.02[\frac{n_{s}}{n}]h+0.02n_{s}f+0.6\left [\left ([\frac{n_{s}}{n}]+1 \right )n-n_{s} \right ]f
w2=([nns]+1)t+d+0.02[nns]h+0.02nsf+0.6[([nns]+1)n−ns]f
根据正态分布概率密度函数计算出第二种情况下的事件发生的概率
p
2
p_{2}
p2为
p
2
=
∫
n
s
n
s
+
1
1
2
π
σ
e
−
(
x
−
μ
)
2
2
σ
2
d
x
0.95
≈
1
2
π
σ
e
−
(
n
s
+
1
−
μ
)
2
2
σ
2
0.95
p_{2}=\frac{\int _{n_{s}}^{n_{s+1}} \frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }e^{-\frac{(x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}dx}{0.95}\approx\frac{\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }e^{-\frac{(n_{s+1}-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}}{0.95}
p2=0.95∫nsns+12πσ1e−2σ2(x−μ)2dx≈0.952πσ1e−2σ2(ns+1−μ)2
则换刀前工序故障的损失费用期望
E
2
(
w
)
E_{2}(w)
E2(w)为
E
2
(
w
)
=
∑
n
s
=
1
m
−
1
w
2
p
2
E_{2}(w)=\sum _{n_{s}=1}^{m-1}w_{2}p_{2}
E2(w)=ns=1∑m−1w2p2
换刀前工序故障所生产的合格零件数等于故障之前生产的合格零件数和故障发生后换刀前生产的合格零件数之和,即
q
2
=
0.98
n
s
+
0.4
[
(
[
n
s
n
]
+
1
)
n
−
n
s
]
q_{2}=0.98n_{s}+0.4\left [\left ([\frac{n_{s}}{n}]+1 \right )n-n_{s} \right ]
q2=0.98ns+0.4[([nns]+1)n−ns],则换刀前工序故障所生产合格零件的期望值
E
2
(
q
)
E_{2}(q)
E2(q)为
E
2
(
q
)
=
∑
n
s
=
1
m
−
1
n
s
p
2
E_{2}(q)=\sum _{n_{s}=1}^{m-1}n_{s}p_{2}
E2(q)=ns=1∑m−1nsp2
问题二建立的模型为
m
i
n
E
(
s
)
=
E
(
w
)
E
(
q
)
s
.
t
.
{
E
(
w
)
=
E
1
(
w
)
+
E
2
(
w
)
=
w
1
p
1
+
∑
n
s
=
1
m
−
1
w
2
p
2
E
(
q
)
=
E
1
(
q
)
+
E
2
(
q
)
=
0.98
m
p
1
+
∑
n
s
=
1
m
−
1
q
2
p
2
\begin{matrix} minE(s)=\frac{E(w)}{E(q)}\\ s.t.\left \{ \begin{matrix} E(w)=E_{1}(w)+E_{2}(w)=w_{1}p_{1}+\sum _{n_{s}=1}^{m-1}w_{2}p_{2}\ _{}\ _{}\\ E(q)=E_{1}(q)+E_{2}(q)=0.98mp_{1}+\sum _{n_{s}=1}^{m-1}q_{2}p_{2} \end{matrix} \right. \end{matrix}
minE(s)=E(q)E(w)s.t.{E(w)=E1(w)+E2(w)=w1p1+∑ns=1m−1w2p2E(q)=E1(q)+E2(q)=0.98mp1+∑ns=1m−1q2p2
%problem 2
clear
clc
M=600; N=600;
t=20;d=4000;f=200;k=1500;
sigma=196.6292;mu=600;
h=2000;
for m=1:M
m
for n=1:N
w1=t*(m/n)+k+0.02*h*m/n+0.02*m*f;
S=normcdf(m,mu,sigma);
p1=1-S/0.95;
Ew1=w1*p1;
Ew2=0;Eq2=0;
for idx=1:m-1
num=floor(idx/n)+1;
w2=t*num+d+0.02*f*idx+0.6*f*(n*num-idx)+0.02*h*idx/n;
p2=1/(sqrt(2*pi)*sigma)*exp(-(idx+1-mu)^2/(2*sigma^2))/0.95;
Ew2=Ew2+w2*p2;
q2=0.98*idx+(n*num-idx)*0.4;
Eq2=Eq2+q2*p2;
end
Ew=Ew1+Ew2;
Eq=0.98*m*p1+Eq2;
E(m,n)=Ew/Eq;
end
end
minE=min(min(E))
[minm,minn]=find(E==minE)
根据所使用的连续检查法,在工序正常时,两个零件均不合格和两个零件一个合格一个不合格,第三个不合格为误检情况,我们计算工序正常时误检的概率
p
s
p_{s}
ps为
p
s
=
0.02
×
0.02
+
0.02
×
(
1
−
0.02
)
×
0.02
×
2
=
0.001184
p_{s}=0.02\times 0.02+0.02\times (1-0.02)\times 0.02\times2=0.001184
ps=0.02×0.02+0.02×(1−0.02)×0.02×2=0.001184
在问题三中我们仍以一个换刀周期内合格零件的平均损失费用的期望值E(s)作为工序效益好坏的评价指标。
A.第一种情况:换刀前工序正常
换刀前工序正常情况时损失费用
w
1
w_{1}
w1为检查费、换刀费、误检停机费和零件损失费之和。
w
1
=
[
m
n
]
t
+
k
+
0.001184
[
m
n
]
h
+
0.02
m
f
w_{1}=[\frac{m}{n}]t+k+0.001184[\frac{m}{n}]h+0.02mf
w1=[nm]t+k+0.001184[nm]h+0.02mf
根据正态分布概率密度函数计算出第一种情况下的事件发生的概率
p
1
p_{1}
p1为
p
1
=
1
−
∫
1
m
1
2
π
σ
e
−
(
x
−
μ
)
2
2
σ
2
d
x
0.95
p_{1}=1-\frac{\int _{1}^{m} \frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }e^{-\frac{(x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}dx}{0.95}
p1=1−0.95∫1m2πσ1e−2σ2(x−μ)2dx
则换刀前工序正常的损失费用期望
E
1
(
w
)
E_{1}(w)
E1(w)为
E
1
(
w
)
=
w
1
p
1
E_{1}(w)=w_{1}p_{1}
E1(w)=w1p1
换刀前工序正常所生产的合格零件数
q
1
=
0.98
m
q_{1}=0.98m
q1=0.98m,则换刀前工序正常所生产合格零件的期望值
E
1
(
q
)
E_{1}(q)
E1(q)为
E
1
(
q
)
=
0.98
m
p
1
E_{1}(q)=0.98mp_{1}
E1(q)=0.98mp1
B.第二种情况:换刀前工序故障
换刀前工序故障情况时,设出现故障之前已经生产了
n
s
n_{s}
ns 个零件,由问题三的假定可知
n
s
n_{s}
ns个零件不全为合格品,则损失费用
w
2
w_{2}
w2 为检查费、故障维修费、误检停机费和故障前后的零件损失费之和。
w
2
=
(
[
n
s
n
]
+
1
)
t
+
d
+
0.001184
[
n
s
n
]
h
+
0.02
n
s
f
+
0.6
[
(
[
n
s
n
]
+
1
)
n
−
n
s
]
f
w_{2}=\left ([\frac{n_{s}}{n}]+1 \right )t+d+0.001184[\frac{n_{s}}{n}]h+0.02n_{s}f+0.6\left [\left ([\frac{n_{s}}{n}]+1 \right )n-n_{s} \right ]f
w2=([nns]+1)t+d+0.001184[nns]h+0.02nsf+0.6[([nns]+1)n−ns]f
根据正态分布概率密度函数计算出第二种情况下的事件发生的概率
p
2
p_{2}
p2为
p
2
=
∫
n
s
n
s
+
1
1
2
π
σ
e
−
(
x
−
μ
)
2
2
σ
2
d
x
0.95
≈
1
2
π
σ
e
−
(
n
s
+
1
−
μ
)
2
2
σ
2
0.95
p_{2}=\frac{\int _{n_{s}}^{n_{s+1}} \frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }e^{-\frac{(x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}dx}{0.95}\approx\frac{\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }e^{-\frac{(n_{s+1}-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}}{0.95}
p2=0.95∫nsns+12πσ1e−2σ2(x−μ)2dx≈0.952πσ1e−2σ2(ns+1−μ)2
则换刀前工序故障的损失费用期望
E
2
(
w
)
E_{2}(w)
E2(w)为
E
2
(
w
)
=
∑
n
s
=
1
m
−
1
w
2
p
2
E_{2}(w)=\sum _{n_{s}=1}^{m-1}w_{2}p_{2}
E2(w)=ns=1∑m−1w2p2
换刀前工序故障所生产的合格零件数等于故障之前生产的合格零件数和故障发生后换刀前生产的合格零件数之和,即
q
2
=
0.98
n
s
+
0.4
[
(
[
n
s
n
]
+
1
)
n
−
n
s
]
q_{2}=0.98n_{s}+0.4\left [\left ([\frac{n_{s}}{n}]+1 \right )n-n_{s} \right ]
q2=0.98ns+0.4[([nns]+1)n−ns],则换刀前工序故障所生产合格零件的期望值
E
2
(
q
)
E_{2}(q)
E2(q)为
E
2
(
q
)
=
∑
n
s
=
1
m
−
1
n
s
p
2
E_{2}(q)=\sum _{n_{s}=1}^{m-1}n_{s}p_{2}
E2(q)=ns=1∑m−1nsp2
问题三建立的模型为
m
i
n
E
(
s
)
=
E
(
w
)
E
(
q
)
s
.
t
.
{
E
(
w
)
=
E
1
(
w
)
+
E
2
(
w
)
=
w
1
p
1
+
∑
n
s
=
1
m
−
1
w
2
p
2
E
(
q
)
=
E
1
(
q
)
+
E
2
(
q
)
=
0.98
m
p
1
+
∑
n
s
=
1
m
−
1
q
2
p
2
\begin{matrix} minE(s)=\frac{E(w)}{E(q)}\\ s.t.\left \{ \begin{matrix} E(w)=E_{1}(w)+E_{2}(w)=w_{1}p_{1}+\sum _{n_{s}=1}^{m-1}w_{2}p_{2}\ _{}\ _{}\\ E(q)=E_{1}(q)+E_{2}(q)=0.98mp_{1}+\sum _{n_{s}=1}^{m-1}q_{2}p_{2} \end{matrix} \right. \end{matrix}
minE(s)=E(q)E(w)s.t.{E(w)=E1(w)+E2(w)=w1p1+∑ns=1m−1w2p2E(q)=E1(q)+E2(q)=0.98mp1+∑ns=1m−1q2p2
% problem 3
clear
clc
M=600; N=600;
t=20;d=4000;f=200;k=1500;
sigma=196.6292;mu=600;
h=2000;
for m=1:M
m
for n=1:N
w1=t*(m/n)+k+0.001184*h*m/n+0.02*m*f;
S=normcdf(m,mu,sigma);
p1=1-S/0.95;
Ew1=w1*p1;
Ew2=0;Eq2=0;
for idx=1:m-1
num=floor(idx/n)+1;
w2=t*num+d+0.02*f*idx+0.6*f*(n*num-idx)+0.001184*h*idx/n;
p2=1/(sqrt(2*pi)*sigma)*exp(-(idx+1-mu)^2/(2*sigma^2))/0.95;
Ew2=Ew2+w2*p2;
q2=0.98*idx+(n*num-idx)*0.4;
Eq2=Eq2+q2*p2;
end
Ew=Ew1+Ew2;
Eq=0.98*m*p1+Eq2;
E(m,n)=Ew/Eq;
end
end
minE=min(min(E))
[minm,minn]=find(E==minE)