概要：首先介绍了切比雪夫不等式，然后介绍大数定律概念和3种大数定律及证明。
切比雪夫不等式
已知随机变量X的期望EX和方差DX，对
,可得
的一个上界。
解释：不论X服从什么分布，X在E(x)的ε
邻域内取值的概率不小于1-Dxε2
。
证明：
本质: 随机变量X偏离E(X)越大，则其概率越小。
若方差越小，随机变量X集中在期望附近的可能性就越大，所以方差刻画了随件变量的离散程度。
随机变量X的分布未知的情况下，只利用X的期望和方差， 即可对X的概率分布进行估计。
大数定律：
依概率收敛：
X1,X2,…,Xn,…是一随机变量序列，如果存在一个常数a,对∀ε>0,总有limn→∞PXn-a<ε=1成立。则称{Xn}依概率收敛于a，记为Xn→a
理解：随机变量Xn在n无穷大的时候无限趋近于常数a。
依概率收敛比普通意义的收敛弱些，具有某种不确定性。
大数定律的客观背景：
在大量随机试验中，事件发生的频率稳定于某一常数，测量值的算术平均值具有稳定性。
大数定律的概念：
当样本数据无限大时，样本均值趋于总体均值。现实生活中，无法进行无穷多次试验，大数定律说用频率近似替代概率，用样本均值近似代替总体均值。
用数学语言表示：
大数定律就是研究随机变量序列在什么条件下，
依概率收敛于0。
为什么使用求和符号？
样本均值
总体均值
切比雪夫大数定律
设随机变量序列{Xn}是相互独立的序列，如果存在常数C，使得
，则此随机变量序列
服从大数定律。
证明：
伯努利大数定律
设
是
重伯努利试验中事件
发生的次数，
，则对任意
有
当伯努利重复试验次数
充分大时，事件
发生的频率
与事件A的概率
有较大偏差的概率很小。
证明：
辛钦大数定律
在独立同分布场合，不需要方差的存在
设X1,X2,…,Xn是一个独立同分布的随机变量序列，且E(Xi)=u，则随机变量序列符合大数定律。
将随机变量X独立重复地观察n次, X1,...,Xn相互独立，且与X具有相同的分布。由辛钦大数定律, 可知当n充分大时, 可将n次结果的平均值作为E(X)的近似。
