一.二次型(6.1)
1.概念:
2.非退化线性替换:
准确地说,应该是将 x x x用 C x Cx Cx带入(这样能保证代换前后二次型中的元不变),但习惯上都记为将 x x x用 C y Cy Cy带入
3.二次型的等价与矩阵的合同
(1)概念:
(2)判定:
命题1:数域 K K K上的2个 n n n元二次型 x ′ A x , y ′ B y x'Ax,y'By x′Ax,y′By等价当且仅当 n n n级对称矩阵 A , B A,B A,B合同
如果将数域 K K K改为任意的域 F F F,结论仍成立
(3)合同类:
二.二次型的标准型(6.1)
1.概念:
注意:①1个二次型的标准形可以不唯一
2.实数域上的标准型:
命题2:实数域上的 n n n元二次型 x ′ A x x'Ax x′Ax有1个标准型为 λ 1 y 1 2 + λ 2 y 2 2 + . . . + λ n y n 2 ( 10 ) λ_1y_1^2+λ_2y_2^2+...+λ_ny_n^2\qquad(10) λ1y12+λ2y22+...+λnyn2(10)其中 λ 1 , λ 2 . . . λ n λ_1,λ_2...λ_n λ1,λ2...λn是 A A A的全部特征值
3.正交替换:
4.任意数域上的标准型
(1)利用配方法求解:
(2)利用矩阵的合同证明:
引理1:设 A , B A,B A,B都是数域 K K K上的 n n n级矩阵,则 A ≃ B A\simeq B A≃B,当且仅当 A A A经过一系列初等行/列变换可以变成 B B B.此时对 I I I作上述初等行/列变换中的初等列变换,就得到1个可逆矩阵 C C C,使得 C ′ A C = B C'AC=B C′AC=B
定理1:数域 K K K上任一 n n n级对称矩阵都合同于1个对角矩阵
定理2:数域 K K K上任一 n n n元二次型都等价于1个只含平方项的二次型
注:①以上2个定理中的数域 K K K都可被扩展为特征不为2的域 F F F
(3)利用成对的初等行/列变换求解:
4.二次型的秩:
命题3:数域 K K K上 n n n元二次型 x ′ A x x'Ax x′Ax的任一标准形中,系数不为0的平方项的个数等于该二次型的矩阵 A A A的秩
二次型 x ′ A x x'Ax x′Ax的矩阵 A A A的秩就称为二次型 x ′ A x x'Ax x′Ax的秩
三.实二次型的规范形(6.2)
1.实二次型的规范形
(1)概念:
(2)唯一性:
定理3(惯性定理): n n n元实二次型 x ′ A x x'Ax x′Ax的规范形是唯一的
2.惯性指数与符号差
(1)概念:
(2)实二次型等价的判定:
命题4:2个 n n n元实二次型等价
⇔ \quad\:\,⇔ ⇔它们的规范形相同
⇔ \quad\:\,⇔ ⇔它们的秩相等,并且正惯性指数也相等
(3)平方项个数于惯性指数的关系:
(4)矩阵的惯性指数与合同规范形:
(定理3的)推论1:任一 n n n级实对称矩阵 A ≃ d i a g { 1...1 , − 1... − 1 , 0...0 } A\simeq diag\{1...1,-1...-1,0...0\} A≃diag{1...1,−1...−1,0...0},其中1的个数等于 x ′ A x x'Ax x′Ax的正惯性指数,-1的个数等于 x ′ A x x'Ax x′Ax的负惯性指数(分别把它们称为 A A A的正/负惯性指数),该对角矩阵称为 A A A的合同规范形
(命题4的)推论1:2个 n n n级实对称矩阵合同
⇔ \quad\:\,⇔ ⇔它们的秩相等,并且正惯性指数也相等
四.复二次型的规范形(6.2)
1.概念:
2.唯一性:
定理4:复二次型 x ′ A x x'Ax x′Ax的规范形是唯一的
3.复二次型等价的判定:
命题5:2个 n n n元复二次型等价
⇔ \quad\:\,⇔ ⇔它们的规范形相同
⇔ \quad\:\,⇔ ⇔它们的秩相等
推论1:任一 n n n级复对称矩阵 A A A合同于对角阵 [ I r 0 0 0 ] \left[\begin{matrix}I_r&0\\0&0\end{matrix}\right] [Ir000]其中 r = r a n k ( A ) r=rank(A) r=rank(A)
推论2:2个 n n n级复对称矩阵合同
⇔ \quad\:\,⇔ ⇔它们的秩相等
由推论2立得:秩是 n n n级复对称矩阵组成的集合在合同关系下的完全不变量
