快速傅氏变换之旅(一) 概念简介 1

FFT（Fast Fourier Transformation），即为快速傅氏变换，是离散傅氏变换的快速算法，它是根据离散傅氏变换的奇、偶、虚、实等特性，对离散傅立叶变换的算法进行改进获得的。它对傅氏变换的理论并没有新的发现，但是对于在计算机系统或者说数字系统中应用离散傅立叶变换，可以说是进了一大步。

设x(n)为N项的复数序列，由DFT变换，任一X（m）的计算都需要N次复数乘法和N-1次复数加法，而一次复数乘法等于四次实数乘法和两次实数加法，一次复数加法等于两次实数加法，即使把一次复数乘法和一次复数加法定义成一次“运算”（四次实数乘法和四次实数加法），那么求出N项复数序列的X（m）,即N点DFT变换大约就需要N2次运算。当N=1024点甚至更多的时候，需要N2=1048576次运算，在FFT中，利用WN的周期性和对称性，把一个N项序列（设N=2k,k为正整数），分为两个N/2项的子序列，每个N/2点DFT变换需要（N/2）2次运算，再用N次运算把两个N/2点的DFT变换组合成一个N点的DFT变换。这样变换以后，总的运算次数就变成N 2（N/2）2=N N2/2。继续上面的例子，N=1024时，总的运算次数就变成了525312次，节省了大约50%的运算量。而如果我们将这种“一分为二”的思想不断进行下去，直到分成两两一组的DFT运算单元，那么N点的DFT变换就只需要Nlog2N次的运算，N在1024点时，运算量仅有10240次，是先前的直接算法的1%，点数越多，运算量的节约就越大，这就是FFT的优越性。

源码表示

一个开源的更快的fft是fftw，www.fftw.org，他在当n不是2^k的时候比ipl的快。不过代码很复杂，用了很多汇编。

#include <stdio.h>
#include <math.h>

//此代码来源《数字信号处理C语言程序集》殷福亮、宋爱军，沈阳：辽宁科学技术出版社，1997.7
//数组x存储时域序列的实部，数组y存储时域序列的虚部
//n代表N点FFT，sign=1为FFT，sign=-1为IFFT
void FFT(double x[],double y[],int n,int sign)
{
	int i,j,k,l,m,n1,n2;
	double c,c1,e,s,s1,t,tr,ti;

	//Calculate i = log2N
	for(j = 1,i = 1; i<16; i++)
	{
		m = i;
		j = 2*j;
		if(j == n)
			break;
	}

	// 计算蝶形图的输入下标（码位倒读）
	n1 = n - 1;
	for(j = 0, i = 0; i < n1; i++)
	{
		if(i<j)           
		{
			tr = x[j];
			ti = y[j];
			x[j] = x[i];
			y[j] = y[i]; 
			x[i] = tr;
			y[i] = ti;                 
		}
		k = n/2;
		while(k<(j+1))
		{
			j = j - k;
			k = k/2;              
		}
		j = j + k;
	}

	// 计算每一级的输出，l为某一级，i为同一级的不同群，使用同一内存（即位运算）
	n1 = 1;
	for(l = 1; l <= m; l++)
	{
		n1 = 2*n1;
		n2 = n1/2;
		e = 3.1415926/n2;
		c = 1.0;
		s = 0.0;
		c1 = cos(e);
		s1 = -sign*sin(e);
		for(j=0; j<n2; j++)
		{
			for(i=j; i<n; i+=n1)         
			{
				k = i + n2;
				tr = c*x[k] - s*y[k];
				ti = c*y[k] + s*x[k];
				x[k] = x[i] - tr;
				y[k] = y[i] - ti;
				x[i] = x[i] + tr;
				y[i] = y[i] + ti;        
			}
			t = c;
			c = c*c1 - s*s1;
			s = t*s1 + s*c1;
		}
	}
	//如果是求IFFT，再除以N
	if(sign == -1)
	{
		for(i=0; i<n; i++)
		{
			x[i] /= n;
			y[i] /= n;
		}
	}
}

int main()
{
	double x[4] = {1,2,-1,3};//郑君里《信号与系统》上的例子，下P145
	double y[4] = {0};
	int i;

	for(i=0; i<4; i++)
		printf("%d %f %f\n",i,x[i],y[i]);

	FFT(x,y,4,1);

	for(i=0; i<4; i++)
		printf("%d %f %f\n",i,x[i],y[i]);

	FFT(x,y,4,-1);

	for(i=0; i<4; i++)
		printf("%d %f %f\n",i,x[i],y[i]);

	return 1;
}

FFT变换的物理意义

首先，fft函数出来的应该是个复数，每一个点分时部虚部两部分。  
假设采用1024点fft，采样频率是fs，那么第一个点对应0频率点第512点对应的就是fs/2的频率点。然后从头开始找模值最大的那个点，其所对应的频率值应该就是你要的基波频率了。  
  
FFT是离散傅立叶变换的快速算法，可以将一个信号变换到频域。有些信号在时域上是很难看出什么特征的，但是如果变换到频域之后，就很容易看出特征了。这就是很多信号分析采用FFT变换的原因。另外，FFT可以将一个信号的频谱提取出来，这在频谱分析方面也是经常用的。

 一个模拟信号，经过ADC采样之后，就变成了数字信号。采样定理告诉我们，采样频率要大于信号频率的两倍，这些我就不在此罗嗦了。  
  
     采样得到的数字信号，就可以做FFT变换了。N个采样点，经过FFT之后，就可以得到N个点的FFT结果。为了方便进行FFT运算，通常N取2的整数次方。  
 

假设采样频率为Fs，信号频率F，采样点数为N。那么FFT之后结果就是一个为N点的复数。每一个点就对应着一个频率点。这个点的模值，就是该频率值下的幅度特性。具体跟原始信号的幅度有什么关系呢？假设原始信号的峰值为A，那么FFT的结果的每个点（除了第一个点直流分量之外）的模值就是A的N/2倍。而第一个点就是直流分量，它的模值就是直流分量的N倍。而每个点的相位呢，就是在该频率下的信号的相位。第一个点表示直流分量（即0Hz），而最后一个点N的再下一个点（实际上这个点是不存在的，这里是假设的第N+1个点，可以看做是将第一个点分做两半分，另一半移到最后）则表示采样频率Fs，这中间被N-1个点平均分成N等份，每个点的频率依次增加。例如某点n所表示的频率为：Fn =(n-1)*Fs/N。由上面的公式可以看出，Fn所能分辨到频率为 Fs/N，如果采样频率Fs为1024Hz，采样点数为1024点，则可以分辨到1Hz。1024Hz的采样率采样1024点，刚好是1秒，也就是说，采样1秒时间的信号并做FFT，则结果可以分析到1Hz，如果采样2秒时间的信号并做FFT，则结果可以分析到0.5Hz。如果要提高频率分辨力，则必须增加采样点数，也即采样时间。频率分辨率和采样时间是倒数关系。假设FFT之后某点n用复数a+bi表示，那么这个复数的模就是An=根号a*a+b*b，相位就是Pn=atan2(b,a)。根据以上的结果，就可以计算出n点（n≠1，且n<=N/2）对应的信号的表达式为：An/(N/2)*cos(2*pi*Fn*t+Pn)，即2*An/N*cos(2*pi*Fn*t+Pn)。对于n=1点的信号，是直流分量，幅度即为A1/N。由于FFT结果的对称性，通常我们只使用前半部分的结果，即小于采样频率一半的结果。  

  好了，说了半天，看着公式也晕，下面以一个实际的信号来做说明。
  
     假设我们有一个信号，它含有2V的直流分量，频率为50Hz、相位为-30度、幅度为3V的交流信号，以及一个频率为75Hz、相位为90度、幅度为1.5V的交流信号。用数学表达式就是如下：
  
S=2+3*cos(2*pi*50*t-pi*30/180)+1.5*cos(2*pi*75*t+pi*90/180)  

 式中cos参数为弧度，所以-30度和90度要分别换算成弧度。我们以256Hz的采样率对这个信号进行采样，总共采样256点。按照我们上面的分析，Fn=(n-1)*Fs/N，我们可以知道，每两个点之间的间距就是1Hz，第n个点的频率就是n-1。我们的信号有3个频率：0Hz、50Hz、75Hz，应该分别在第1个点、第51个点、第76个点上出现峰值，其它各点应该接近0。实际情况如何呢？

从图中我们可以看到，在第1点、第51点、和第76点附近有比较大的值。我们分别将这三个点附近的数据拿上来细看：
1点： 512+0i
2点： -2.6195E-14 - 1.4162E-13i  
3点： -2.8586E-14 - 1.1898E-13i  
50点：-6.2076E-13 - 2.1713E-12i
51点：332.55 - 192i
52点：-1.6707E-12 - 1.5241E-12i  
75点：-2.2199E-13 -1.0076E-12i
76点：3.4315E-12 + 192i
77点：-3.0263E-14 +7.5609E-13i
  
   很明显，1点、51点、76点的值都比较大，它附近的点值都很小，可以认为是0，即在那些频率点上的信号幅度为0。接着，我们来计算各点的幅度值。分别计算这三个点的模值，
结果如下：
1点： 512
51点：384
76点：192

按照公式，可以计算出直流分量为：512/N=512/256=2；50Hz信号的幅度为：384/(N/2)=384/(256/2)=3；75Hz信号的幅度为192/(N/2)=192/(256/2)=1.5。可见，从频谱分析出来的幅度是正确的。
然后再来计算相位信息。直流信号没有相位可言，不用管它。先计算50Hz信号的相位，atan2(-192, 332.55)=-0.5236,结果是弧度，换算为角度就是180*(-0.5236)/pi=-30.0001。再计算75Hz信号的相位，atan2(192, 3.4315E-12)=1.5708弧度，换算成角度180*1.5708/pi=90.0002。可见，相位也是对的。


根据FFT结果以及上面的分析计算，我们就可以写出信号的表达式了，它就是我们开始提供的信号。  

 总结：假设采样频率为Fs，采样点数为N，做FFT之后，某一点n（n从1开始）表示的频率为：Fn=(n-1)*Fs/N；该点的模值除以N/2就是对应该频率下的信号的幅度（对于直流信号是除以N）；该点的相位即是对应该频率下的信号的相位。相位的计算可用函数atan2(b,a)计算。atan2(b,a)是求坐标为(a,b)点的角度值，范围从-pi到pi。要精确到xHz，则需要采样长度为1/x秒的信号，并做FFT。要提高频率分辨率，就需要增加采样点数，这在一些实际的应用中是不现实的，需要在较短的时间内完成分析。解决这个问题的方法有频率细分法，比较简单的方法是采样比较短时间的信号，然后在后面补充一定数量的0，使其长度达到需要的点数，再做FFT，这在一定程度上能够提高频率分辨力。