1、基本概念
点集 |
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区间 |
领域 |
一维 |
直线 |
实数集 |
线段(端点) |
(不含端点) |
二维 |
平面 |
实平面 |
平面区域(边界) |
(不含边界) |
三维 |
空间 |
实空间 |
曲面(边界)&体(表面) |
(不含边界&表面) |
点和点集的关系
内点 |
外点 |
边界点 |
点集E内 |
点集E外 |
点集E边界上 |
存在领域属于E |
存在领域与E交集为空 |
任意领域与E、CUE皆有交集 |
重要的平面点集
名称 |
含义 |
开集 |
没边界点 |
闭集 |
包含内点和边界点 |
连通集 |
任意两点连连看 |
开区域 |
连通开集 |
闭区域 |
连通闭集 |
有界集 |
能找着一个确定的最大半径 |
e.g.
{(x,y)|1
{(x,y)|x²>1}无界、开集、不连通
2、多元函数
概念(n元函数):
任意(x,y)属于D属于R^n, 存在唯一u属于R使得f(a,b,c,……,n)=u
二重极限(以二元为例,可推广至n元):
设f(x,y)在P0(x0,y0)极限为A,存在一个半径δ,使f(x,y)所有点P(x,y)都在P0的这个半径的去心邻域里,从而使得f(x,y)与A的差的绝对值小于任意一个极小正值(即无穷小)。
重点:
证明:找到那个半径0
证反:P趋于P0,方向任意&&路径任意(无穷多≠任意)
e.g.
性质 |
备注 |
多元初等函数在定义区域内连续 |
定义区域包含在定义域内;极限值=函数值 |
有界性定理 |
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最值定理 |
值为一,取值点不唯一 |
介值定理 |
能取到最值间任一函数值 |
3、偏导数
偏增量(在x0处关于x):Δxz=f(x0+Δx,y0)-f(x0,y0)
偏导数(在x0处关于x):当Δx趋于0时(Δxz/Δx)的极限