首先说明行列式的三个基本性质，然后从基本性质推导出其他性质
(1) 性质一 ：单位矩阵的行列式的值为1 det(I) = 1
(2) 性质二 ：交换矩阵的两行行列式的值的符号改变 ： det(A) = - det(B) (矩阵B由A交换两行得到)
(3) 性质三 ：性质三分为两部分：
(i)性质三a ：将矩阵某一行乘以t 则行列式的值也将乘以 t
(ii)性质三b ：若两个矩阵只有某一行的元素不同那么他们的行列式的和等于将这一行相加得到的新矩阵的行列式
根据前面讲解的线性变换的性质我们可以看出行列式也是一个线性函数。
下边我们根据以上的三个基本性质推导出行列式的其他性质
(4) 如果矩阵有任意两行相同则矩阵的行列式为0
证明: 根据性质二交换相同的两行易证。
(5) 对矩阵做初等变换，矩阵的行列式不变。
证明：
(6) 若矩阵含有全零行则行列式为0
证明 : 根据性质三a 对全零行乘以一个非零的数t 易证。
(7) 三角矩阵的行列式等于主对角线元素的乘积
证明 :
(8) 若矩阵是奇异矩阵行列式值为0
证明：根据性质5将矩阵进行初等变换化为rref形式则含有全0行，根据,性质6可证
(9)
(i)det (AB) = det(A) * det(B)
(ii)如果矩阵B是A的逆矩阵有 detB = 1/detA
该性质的证明留到下一节
证明：
若矩阵AB至少有一个奇异矩阵 则det (AB) = det(A) * det(B)=0;
若AB都不是奇异矩阵则A和B可通过初等变换变为对角矩阵，而根据性质5行列式并不改变
(10) 矩阵与其转置的行列式相同
证明：将矩阵进行LU分解A = LU 根据性质9有det(A) = det(L)*det(U)
根据性质7有：
这个性质告诉我们以上以行定义的那些性质 换成列也同样适用
