对
于
任
意
x
D
，
变
量
x
按
照
一
定
的
对
应
法
则
f
总
有
一
个
确
定
的
数
值
y
与
其
对
应
，
称
y
是
x
的
函
数
。
记
y
=
f
(
x
)
,
x
∈
D
定
义
域
D
，
值
域
R
f
=
f
(
D
)
=
{
y
∣
y
=
f
(
x
)
,
x
∈
D
}
对于任意x D，变量x按照一定的对应法则f总有一个确定的数值y与其对应，称y是x的函数。 \\ 记y = f(x), x \in D \\ 定义域D，值域R_f=f(D)=\{y|y=f(x), x \in D\}
对于任意xD，变量x按照一定的对应法则f总有一个确定的数值y与其对应，称y是x的函数。记y=f(x),x∈D定义域D，值域Rf=f(D)={y∣y=f(x),x∈D}
奇函数
f
(
x
)
f(x)
f(x)若在
x
=
0
x=0
x=0处有定义，则
f
(
0
)
=
0
f(0)=0
f(0)=0 [prove]。
常见奇函数：
sin
x
,
tan
x
,
arcsin
x
,
arctan
x
,
ln
1
−
x
1
+
x
,
ln
(
±
x
+
1
+
x
2
)
,
e
x
−
1
e
x
+
1
,
f
(
x
)
−
f
(
−
x
)
\sin x, \tan x, \arcsin x, \arctan x, \ln \frac{1-x}{1+x}, \ln (\pm x + \sqrt{1+x^2}), \frac{e^x-1}{e^x+1}, f(x)-f(-x)
sinx,tanx,arcsinx,arctanx,ln1+x1−x,ln(±x+1+x2),ex+1ex−1,f(x)−f(−x) [prove]。
常见偶函数：
x
2
,
∣
x
∣
,
cos
x
,
f
(
x
)
+
f
(
−
x
)
x^2, \lvert x \rvert, \cos x, f(x)+f(-x)
x2,∣x∣,cosx,f(x)+f(−x) [prove]。
PROVE
奇函数的代数和仍为奇函数 [context] KaTeX parse error: No such environment: split at position 67: …\\ \quad \begin{̲s̲p̲l̲i̲t̲}̲ F(-x) &= \sum_…
偶函数的代数和仍为偶函数 [context] KaTeX parse error: No such environment: split at position 67: …\\ \quad \begin{̲s̲p̲l̲i̲t̲}̲ F(-x) &= \sum_…
偶数个奇函数之积仍为偶函数 [context] KaTeX parse error: No such environment: split at position 80: …\\ \quad \begin{̲s̲p̲l̲i̲t̲}̲ F(-x) &= \prod…
奇数个奇函数之积仍为奇函数 [context] KaTeX parse error: No such environment: split at position 80: …\\ \quad \begin{̲s̲p̲l̲i̲t̲}̲ F(-x) &= \prod…
两个偶函数的积、商仍为偶函数 [context] KaTeX parse error: No such environment: split at position 82: …\\ \quad \begin{̲s̲p̲l̲i̲t̲}̲ F(-x) &= \frac…
两个奇函数的积、商仍为偶函数 [context] KaTeX parse error: No such environment: split at position 82: …\\ \quad \begin{̲s̲p̲l̲i̲t̲}̲ F(-x) &= \frac…
一个奇函数与一个偶函数的积、商为奇函数 [context] KaTeX parse error: No such environment: split at position 96: …\\ \quad \begin{̲s̲p̲l̲i̲t̲}̲ F(-x) &= \frac…
奇函数
f
(
x
)
f(x)
f(x)若在
x
=
0
x=0
x=0处有定义，则
f
(
0
)
=
0
f(0)=0
f(0)=0 [context] KaTeX parse error: No such environment: equation at position 83: …\ 当x=0时： \begin{̲e̲q̲u̲a̲t̲i̲o̲n̲}̲ \left\{ \begin…
常见奇函数：
sin
x
,
tan
x
,
arcsin
x
,
arctan
x
,
ln
1
−
x
1
+
x
,
ln
(
x
+
1
+
x
2
)
,
e
x
−
1
e
x
+
1
,
f
(
x
)
−
f
(
−
x
)
\sin x, \tan x, \arcsin x, \arctan x, \ln \frac{1-x}{1+x}, \ln (x + \sqrt{1+x^2}), \frac{e^x-1}{e^x+1}, f(x)-f(-x)
sinx,tanx,arcsinx,arctanx,ln1+x1−x,ln(x+1+x2),ex+1ex−1,f(x)−f(−x) [context]
sin
x
(1)
\sin x \tag{1} \\
sinx(1)
ln
1
−
x
1
+
x
(5)
\ln \frac{1-x}{1+x} \tag{5}
ln1+x1−x(5)
KaTeX parse error: No such environment: split at position 96: …\\ \quad \begin{̲s̲p̲l̲i̲t̲}̲ f(-x) &= \ln \…
ln
(
x
+
1
+
x
2
)
，
ln
(
−
x
+
1
+
x
2
)
(6)
\ln (x+\sqrt{1+x^2})，\ln (-x+\sqrt{1+x^2}) \tag{6}
ln(x+1+x2)，ln(−x+1+x2)(6)
KaTeX parse error: No such environment: split at position 129: …\\ \quad \begin{̲s̲p̲l̲i̲t̲}̲ f(-x) &= \ln (…
e
x
−
1
e
x
+
1
(7)
\frac{e^x-1}{e^x+1} \tag{7}
ex+1ex−1(7)
KaTeX parse error: No such environment: split at position 126: …\\ \quad \begin{̲s̲p̲l̲i̲t̲}̲ f(-x) &= \frac…
f
(
x
)
−
f
(
−
x
)
(8)
f(x)-f(-x) \tag{8}
f(x)−f(−x)(8)
KaTeX parse error: No such environment: split at position 94: …\\ \quad \begin{̲s̲p̲l̲i̲t̲}̲ g(-x) &= f(-x)…
常见偶函数：
x
2
,
∣
x
∣
,
cos
x
,
f
(
x
)
+
f
(
−
x
)
x^2, \lvert x \rvert, \cos x, f(x)+f(-x)
x2,∣x∣,cosx,f(x)+f(−x) [context]
x
2
(1)
x^2 \tag{1}
x2(1)
f
(
x
)
+
f
(
−
x
)
(4)
f(x) + f(-x) \tag{4}
f(x)+f(−x)(4)
已
知
：
g
(
x
)
=
f
(
x
)
+
f
(
−
x
)
，
x
∈
D
证
明
：
g
(
−
x
)
=
g
(
x
)
，
可
得
g
(
x
)
在
D
上
为
偶
函
数
g
(
−
x
)
=
f
(
−
x
)
+
f
(
x
)
=
g
(
x
)
已知：g(x)=f(x)+f(-x)，x \in D \\ 证明：g(-x)=g(x)，可得g(x)在D上为偶函数 \\ \quad g(-x) = f(-x) + f(x) = g(x)
已知：g(x)=f(x)+f(−x)，x∈D证明：g(−x)=g(x)，可得g(x)在D上为偶函数g(−x)=f(−x)+f(x)=g(x)
