Numpy.linalg模块的lstsq()进行线性回归拟合(数学建模）

1. 建模中经常使用线性最小二乘法，实际上就是求超定线性方程组（未知数少，方程个数多）的最小二乘解，前面已经使用pinv()求超定线性方程组的最小二乘解.下面再举两个求最小二乘解的例子，并使用numpy.linalg模块的lstsq()函数 求解.

2. 先要明确这个函数的原义是用来求超定线性方程组的：
   例如下面的方程组：

   ---

系数矩阵的第一列相当于给定了x的观测值 X=[0,1,2,3].transpose

右边的结果矩阵相当于给定了y的观测值 Y=[-1,0.2,0.9,2.1].transpose

然后使用两个观测值来拟合经验函数 y=mx+c

系数矩阵的第二列存在的意义有点类似于机器学习中的偏置θ0,用于和C相乘，注意这是必要的，在只给定观测值的情况下，我们也常常需要np.ones_like(X的长度来构建有这一“无效列”的矩阵.

1. **lstsq(a,b,rcond=“warn”)**函数的参数详解（下面的矩阵都是array_like(类数组对象))：
   1. a是一个M行N列的系数矩阵，前面说过需要构造np.ones_like(M)
   2. b是一个(M,)或者(M,K)，如果b是一个M行K列的二维矩阵，函数会逐个计算每一列的最小二乘法
   3. rcond这个参数是可选的，是用于奇异矩阵的处理的，感兴趣的可以自行查看源码，官方推荐我们一般用 rcond=None

返回值：以下提到的所有矩阵都是ndarray, NumPy 最重要的一个特点是其 N 维数组对象 ndarray，它是一系列同类型数据的集合，以 0 下标为开始进行集合中元素的索引）：

1. x : {(N,), (N, K)} ndarray (我们所要的结果，如果前面的b是二维的，那么这里也会有k列的a和b结果)

2. residuals : {(1,), (K,), (0,)} ndarray

3. rank: int

4. a 的奇异值

   返回值重点关注返回集合中的x就行，所以我们一般的用法是lstsq()[0]

   官方的使用栗子：

       Examples
       --------
       Fit a line, ``y = mx + c``, through some noisy data-points:
   
       >>> x = np.array([0, 1, 2, 3])
       >>> y = np.array([-1, 0.2, 0.9, 2.1])
   
       By examining the coefficients, we see that the line should have a
       gradient of roughly 1 and cut the y-axis at, more or less, -1.
   
       We can rewrite the line equation as ``y = Ap``, where ``A = [[x 1]]``
       and ``p = [[m], [c]]``.  Now use `lstsq` to solve for `p`:
   
       >>> A = np.vstack([x, np.ones(len(x))]).T
       >>> A
       array([[ 0.,  1.],
              [ 1.,  1.],
              [ 2.,  1.],
              [ 3.,  1.]])
   
       >>> m, c = np.linalg.lstsq(A, y, rcond=None)[0]
       >>> print(m, c)
       1.0 -0.95
   
       Plot the data along with the fitted line:
   
       >>> import matplotlib.pyplot as plt
       >>> plt.plot(x, y, 'o', label='Original data', markersize=10)
       >>> plt.plot(x, m*x + c, 'r', label='Fitted line')
       >>> plt.legend()
       >>> plt.show()
   

   1. 下面举个栗子：
      给定一组实验数据

      0	27.
      1	26.8
      2	26.5
      3	26.3
      4	26.1
      5	25.7
      6	25.3
      	24.8

      我们来进行一元线性拟合 y=at+b

      import numpy as np
      import numpy.linalg as LA
      import matplotlib.pyplot as plt
      t=np.arange(8)
      y=np.array([27.0,26.8,26.5,26.3,26.1,25.7,25.3,24.8])
      A=np.c_[t, np.ones_like(t)]
      print(np.ones_like(t))
      ab=LA.lstsq(A,y,rcond=None)[0]
      print(ab);
      plt.rc('font',size=16)
      plt.plot(t,y,'o',label='Original data',markersize=5)
      plt.plot(t,A.dot(ab),'r',label="Fitted line")
      plt.legend();
      plt.show();
      

      **感兴趣的可以自己运行试试看**