1. 问题描述：
Serling公司购买长钢条，将其切割为短钢条出售。切割工序本身没有成本支出。公司管理层希望知道最佳的切割方案。
假定我们知道Serling公司出售一段长为i英寸的钢条的价格为pi(i=1,2,…，单位为美元)。钢条的长度均为整英寸。
| 长度i | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| - | - | - | - | - | - | - | - | - | - |
价格pi | 1 | 5 | 8 | 16 | 10 | 17 | 17 | 20 | 24 | 30 |
钢条切割问题是这样的：给定一段长度为n英寸的钢条和一个价格表pi(i=1,2,…n)，求切割钢条方案，使得销售收益rn最大。
注意，如果长度为n英寸的钢条的价格pn足够大，最优解可能就是完全不需要切割
2. 最优解的问题我们可以使用多种方法来解决，可以使用普通的递归，深度优先搜索，记忆型的递归，还有就是我们可以使用动态规划dp来进行解决，使用动态规划所消耗的时间是最少的，代码的性能最好，但是一开始的时候我们可能对于动态规划不是特别熟悉，那么这个时候就需要把前面的普通递归，深度优先搜索，记忆型的递归来先熟悉好，把那些代码先写一遍然后再写动态规划的代码，这样对于自身的提高会很多，增加对于动态规划的理解
3. 使用动态规划来进行求解，最重要的是要搞清楚参数的变化，涉及到因变量，自变量的变化，类似于函数，由自变量的变化引起因变量的变化，确定好变化的量之后，对于这道题目来说是变化的量是可以切割的钢条的长度，因变量是最大价值
对于动态规划来说，因变量一般是保存的最优的解或者最优的方案，这里是切割钢条的最大价值
那么我们便可以使用excel表格来进行dp公式的推导：
假如因变量长度我们想的是：保留的钢条的长度，对于长度为0我们保留0说明我们要把这条钢条全部切割但是切割10的最佳方案正是我们需要求解的，所以这种想法无法继续下去，需要换一种思考方式，我们可以这样想：假如我们有长度为0,1,2,3...10
的钢条我们要怎么样进行切割才可以使到我们价值最大呢？例如我们有长度为2的钢条我们可以这样切：
0----2型的切割
1----1型的切割
2----0型的切割
前面的为保留的钢条的长度，剩下的为长度为n切割的最佳方案，前面的保留的长度可以直接查从控制台输入的相关的值，那么剩下的为长度为n切割的最佳方案可以查询之前历史上保存的剪切的最佳切割方案，对于长度为2的钢条，1----1型的切割后面1的最佳方案前面已经求解出来了直接查询就可以了，把excel表格填完之后就可以发现这个规律了
我们也可以这样想：我们当前有长度为n的钢条，我们每次可以切的多个组合中求解出最大值，所以来说其实是在多个组合中选择一个最大价值的问题
3. 具体的代码如下：
import java.util.Scanner;
import static java.lang.Math.max;
public class Main{
static int rec[];
public static void main(String[] args) {
//下面使用动态规划来进行解决,关键是要求出变化的量在哪里,我们可以使用excel表格来进行打表帮助我们更好地理解
//以便求出最佳的切割方案
Scanner sc = new Scanner(System.in);
int n = sc.nextInt();
int v[] = new int[n];
for(int i = 0; i < n; i++){
v[i] = sc.nextInt();
}
dp(v, n);
sc.close();
}
private static void dp(int[] v, int n){
rec = new int[n + 1];
for(int i = 1; i < n + 1; i++){
for(int j = 1; j <= i; j++){
//前面的是保留的是整对的长度,后面的是需要切割钢条的剩余长度的最佳切割方案
rec[i] = max(v[j - 1] + rec[i - j], rec[i]);
}
}
System.out.println(rec[n]);
}
}
测试数据:
10 1 5 8 16 10 17 17 20 24 30 输出37
10 1 4 2 3 5 6 2 3 1 6 输出20
10 1 1 4 2 3 1 6 3 2 1 输出13