辛普森悖论理解

目录

• 辛普森悖论
  • 介绍
  • 分析
  • 数学原理
  • 图像表示
• 基本比率谬误
  • 介绍
  • 数学原理
  • 参考

辛普森悖论

介绍

观察下面 表格：

	Treatment A	Treatment B
Small stones	Group 1 93% (81/87)	Group 2 87% (234/270)
Large stones	Group 3 73% (192/263)	Group 4 69% (55/80)
Both	78% (273/350)	83% (289/350)

分析：

治疗方法A在小、大肾结石分类下都比B的康复率高；但是结合在一起观察，B的康复率比A高；

辛普森悖论：在分组比较中都占优势的一方，在总评中有时反而是失势的一方。

分析

1，辛普森悖论成立时，通常是忽略了因果关系(causal relation)；

影响康复率的根本因素是病情严重，而不是治疗方法；

2，分组后观察数据更加清晰；

分组后，组之间的规模大小size差距悬殊，这导致各组权重应该是不同的。

案例中，在轻症患者分类下，方法B虽然处于弱势，但是弱的程度并不大，且B的规模比方法A大，这导致了方法B综合比A强；

从数据综合来看：方法A适用重症，B适用轻症；

数学原理

\[ \left\{ \begin{array}{l} \frac {a_1}{b_1}>\frac {a_2}{b_2}\\ \frac {c_1}{d_1}>\frac {c_2}{d_2}\\ \end{array} \right.\not\Rightarrow\frac{a_1+c_1}{b_1+d_1}>\frac{a_2+c_2}{b_2+d_2} \]

图像表示

B1优于L1且B2优于L2，但是B1+B2弱于L1+L2；

基本比率谬误

介绍

人群中，患某种癌症的比例是a=1%；做癌症试验反应，阳性阴性确诊的概率是b=90%；（可能误诊）

现在某人反应为阳性，得癌症的概率是？

数学原理

\[ P(癌症|阳性)=\frac{ab}{ab+(1-a)(1-b)}=8.3\% \]
因为分母中存在\((1-a)(1-b)\)进行分担，也就是正常人比率*误诊率都挺高的情况下，假阳性的概率非常高；

参考

Simpson's paradox-wiki