重点章节
条件概率,期望等等
第一课 随机事件和概率
1/6 无放回类题目(一次摸多个)
例
1.
盒子里有
3
绿
4
红共
7
个小球,无放回的摸
3
个试求摸出
1
绿
2
红的概率
例
2.
钱包里有
3
张
100
元,
5
张
10
元,
3
张
5
元的纸币,随机摸
3
张,试求摸出
1
张
100
,
2
张
10
的概率
例1.盒子里有3绿4红共7个小球,无放回的摸3个试求摸出1绿2红的概率\\ 例2.钱包里有3张100元,5张10元, 3张5元的纸币,随机摸3张,试求摸出1张100,2张10的概率
例1.盒子里有3绿4红共7个小球,无放回的摸3个试求摸出1绿2红的概率例2.钱包里有3张100元,5张10元,3张5元的纸币,随机摸3张,试求摸出1张100,2张10的概率
【无放回,直接用C解】
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古典概型
![image-20230107212022340](https://img-blog.csdnimg.cn/img_convert/8862c1ef18ba7902e9bf7762176fe9b1.png)
![image-20230107212303674](https://img-blog.csdnimg.cn/img_convert/c888e68fcef9481a75fb6dd2bd24dcbb.png)
![image-20230107212516453](https://img-blog.csdnimg.cn/img_convert/323e1e93efbda69d19273dbdf60c48ae.png)
![image-20230107161421602](https://img-blog.csdnimg.cn/img_convert/562dcc10aad996742d967e16e00748c8.png)
排列与组合
![image-20230107212724230](https://img-blog.csdnimg.cn/img_convert/d5eefc484e045879ae30e3aaefa48f38.png)
2/6 有放回题目(进行多次,每次情况一致)
![image-20230107214303597](https://img-blog.csdnimg.cn/img_convert/a13cb963786253134963dc3c5e56b355.png)
3/6 事件的概率
![image-20230107215406144](https://img-blog.csdnimg.cn/img_convert/bc4f1ea9635f55be990de91bcb0a98da.png)
![image-20230107215551389](https://img-blog.csdnimg.cn/img_convert/ff8a46bcf31bb1bcb4f2c6674e0a91e6.png)
4/6 条件概率
①条件概率
![image-20230107215726023](https://img-blog.csdnimg.cn/img_convert/594851db36204fdb4ef444092be65c05.png)
②相互独立
![image-20230107215551389](https://img-blog.csdnimg.cn/img_convert/6d38027a20817cc2f832aa83e314c5b8.png)
![image-20230107220025282](https://img-blog.csdnimg.cn/img_convert/ad4f40ed9569eddd7befa808dccea6d5.png)
法二:
P
(
A
‾
∣
B
)
=
1
−
P
(
A
∣
B
)
=
1
−
P
(
A
B
)
P
(
B
)
由于
A
B
相互独立,所以
P
(
A
B
)
=
P
(
A
)
P
(
B
)
P
(
A
‾
∣
B
)
=
1
−
P
(
A
∣
B
)
=
1
−
P
(
A
)
P
(
B
)
P
(
B
)
=
0.6
P(\overline A|B)= 1-P(A|B)=1-\frac{P(AB)}{P(B)}\\ 由于AB相互独立,所以P(AB)=P(A)P(B)\\ P(\overline A|B)= 1-P(A|B)=1-\frac{P(A)P(B)}{P(B)}=0.6\\
P(A∣B)=1−P(A∣B)=1−P(B)P(AB)由于AB相互独立,所以P(AB)=P(A)P(B)P(A∣B)=1−P(A∣B)=1−P(B)P(A)P(B)=0.6
5/6 全概率公式
![image-20230107221218862](https://img-blog.csdnimg.cn/img_convert/6629df8431f04bb8947c5e0a104a2792.png)
![image-20230107221256416](https://img-blog.csdnimg.cn/img_convert/4af8ae10510e96e3c12e89af4b4f806c.png)
6/6 贝叶斯公式
贝叶斯其实是条件概率反过来求。其实就是**已知结果求原因**
![image-20230107221413215](https://img-blog.csdnimg.cn/img_convert/19a1fe26e87c1c4e68e3c62c76892d04.png)
![image-20230107221742631](https://img-blog.csdnimg.cn/img_convert/aa107221b01f3a689815409f56d19eaf.png)
第二课 离散型随机变量
1/6 求分布律里的未知数
![image-20230108132454724](https://img-blog.csdnimg.cn/img_convert/fd0ad38a9d71518d4406e9375d0060d5.png)
2/6 根据X的分布律写Y的分布律
一维随机变量函数的分布
![image-20230108132748349](https://img-blog.csdnimg.cn/img_convert/c2576005afed4ac7ee295f879e51da77.png)
注意
![image-20230108132847390](https://img-blog.csdnimg.cn/img_convert/148923c05497971423768bd19d916c58.png)
![image-20230108132954235](https://img-blog.csdnimg.cn/img_convert/d5156201754aebcea07bba491e00d769.png)
![image-20230108133105362](https://img-blog.csdnimg.cn/img_convert/41afa3381c80c9abe63b94d6ecae5652.png)
3/6 根据(X,Y) 的分布律写Z的分布律
![image-20230108133312170](https://img-blog.csdnimg.cn/img_convert/62c1e221f204df7d9d09a9f026c1f3e3.png)
4/6 根据(X,Y)的分布律写边缘分布律
边缘分布
![image-20230108133603747](https://img-blog.csdnimg.cn/img_convert/3c801a3505211bc43273463c76a22dfd.png)
![image-20230108133709515](https://img-blog.csdnimg.cn/img_convert/9a8f08a91257b048a08e372cd66ee7cc.png)
![image-20230108133816391](https://img-blog.csdnimg.cn/img_convert/e717a20e676e643b03b08132821fa65b.png)
5/6 X与Y相互独立时的联合分布律
![image-20230108134928917](https://img-blog.csdnimg.cn/img_convert/1d355b7d82dc9c87e038ad954d35fcc2.png)
6/6 根据分布律求期望、方差
①离散型随机变量的数学期望
![image-20230108135619079](https://img-blog.csdnimg.cn/img_convert/ee1513553ecae0aee2e02e257b893f5d.png)
![image-20230108135720991](https://img-blog.csdnimg.cn/img_convert/f14365c7d83a774ff10bdb3242d71f52.png)
②离散型随机变量的方差
![image-20230108135800444](https://img-blog.csdnimg.cn/img_convert/a78f7afac9fcec2b7b9890c9b49bbdbf.png)
![image-20230108135835843](https://img-blog.csdnimg.cn/img_convert/dda03ffe78f339effb3eb161820d3579.png)
③一维随机变量函数的分布
![image-20230108140020160](https://img-blog.csdnimg.cn/img_convert/2df0c90c1406e1b2bcfc4914893cfaa2.png)
![image-20230108140257213](https://img-blog.csdnimg.cn/img_convert/1f367a0f3d776991bd32bdf3080237cc.png)
第三课 连续型需要的积分
1/4 求分段函数在确定区闻的定积分
![image-20230108140514043](https://img-blog.csdnimg.cn/img_convert/1ff45b77813da4a983c2ef9df1d2b7a3.png)
2/4 求分段函数在-∞到未知数的定积分
![image-20230108140829854](https://img-blog.csdnimg.cn/img_convert/28c28da73840b899b2a1c2792246f676.png)
3/4 求简单的二重积分
![image-20230108141145234](https://img-blog.csdnimg.cn/img_convert/054c44cab99afb8059eaea0bf73fff79.png)
4/4 求f(x,y)的二重积分
![image-20230108141517017](https://img-blog.csdnimg.cn/img_convert/7ce9d07ad823f198096a7eeecc8459b2.png)
第四课 一维连续型随机变量
1/7 已知fx(x)求概率
P=F,F是对应概率密度函数f上的积分
![image-20230108142458824](https://img-blog.csdnimg.cn/img_convert/db1a4b79e5e5ac41f0404b219bd6ec51.png)
![image-20230108142258141](https://img-blog.csdnimg.cn/img_convert/897bcd0ad8f9a2cdfb47f465a06289a1.png)
![image-20230108142621579](https://img-blog.csdnimg.cn/img_convert/b6cbcbc1334fef84f33ecb51f66de200.png)
2/7 求fx(x) 中的未知数
归一性
【取遍-∞到+∞】
![image-20230108142749332](https://img-blog.csdnimg.cn/img_convert/0c38e5e20d45a7bbf7c7278007e89b14.png)
![image-20230108142848396](https://img-blog.csdnimg.cn/img_convert/48af7656f0472f6b85a368fa4fdd4c51.png)
3/7 已知f(x)求F
![image-20230108143009536](https://img-blog.csdnimg.cn/img_convert/bbaeb915bdd9ffb454d7d8a3d6827e9a.png)
![image-20230108143143750](https://img-blog.csdnimg.cn/img_convert/489c00c6f2c4d83514f1274dcaa10a95.png)
4/7 求F中的未知数
![image-20230108143009536](https://img-blog.csdnimg.cn/img_convert/8e1e9508490fab192762cff747cc4407.png)
![image-20230108143326229](https://img-blog.csdnimg.cn/img_convert/608473423eca5b94999ef6d6833530f8.png)
![image-20230108143508291](https://img-blog.csdnimg.cn/img_convert/1544eef7f2a93f6ac54d8e57d4b128c0.png)
由于分布函数F是右连续函数,所以条件三成立
5/7 已知F求f
分布函数的反求
![image-20230108143009536](https://img-blog.csdnimg.cn/img_convert/2f50ceb9803a8d93595f5e78a8bd8b23.png)
![image-20230108143833860](https://img-blog.csdnimg.cn/img_convert/8c2e096bf16ce3f015fea9c429ffe157.png)
6/7 已知f求f
①连续型–>连续型(混合型)
![image-20230108143944414](https://img-blog.csdnimg.cn/img_convert/21fb1df8164b903d9f89b8ecd3516497.png)
![image-20230108144100074](https://img-blog.csdnimg.cn/img_convert/f58c1310befbae72e0aef01e50d02522.png)
②例题
![image-20230108144221065](https://img-blog.csdnimg.cn/img_convert/a2bafc20858d8af8dea1ec0f4c756dcd.png)
![image-20230108145430118](https://img-blog.csdnimg.cn/img_convert/551056d717060bfdc5dcfff32f8654da.png)
![image-20230108145358664](https://img-blog.csdnimg.cn/img_convert/e3f08adfcd49063cb432868e6e49f973.png)
7/7 已知f求期望、方差
①X的数学期望
![image-20230108145638883](https://img-blog.csdnimg.cn/img_convert/f42fad3b8e4784c4cb5449622498be7f.png)
②方差
![image-20230108145822079](https://img-blog.csdnimg.cn/img_convert/26666a558a54f31bc4c22bbd9b9b678f.png)
![image-20230108145957247](https://img-blog.csdnimg.cn/img_convert/9f71362fd1b2bc31d4cd5e2e945fc17c.png)
4.常见的五种分布
![image-20230108185320673](https://img-blog.csdnimg.cn/img_convert/5558e466204904783a24abde27308f07.png)
1/6 符合均匀分布,求概率
均匀分布U(a,b)
![image-20230108185100469](https://img-blog.csdnimg.cn/img_convert/dd8bf9169898022f8544445b492ef453.png)
![image-20230108185154403](https://img-blog.csdnimg.cn/img_convert/8833645d2f2606b74406417809164d5a.png)
![image-20230108185410625](https://img-blog.csdnimg.cn/img_convert/630e21a33179d3e1bd1ef1861c06d806.png)
2/6 符合泊松分布,求概率
泊松分布P(A)
![image-20230108185541132](https://img-blog.csdnimg.cn/img_convert/2a1f1f9836c3b0dc7c0ff700cd7ee9c7.png)
【lambda是参数,x是某某次数】
![image-20230108185718069](https://img-blog.csdnimg.cn/img_convert/ba2f0e34e8827550dacfc1c7cd1cec03.png)
![image-20230108185805729](https://img-blog.csdnimg.cn/img_convert/0b10a735463b21684bad307e8373aace.png)
如果是这样的,千万不要用1-P(X=6)这种,要一个一个算!
3/6符合二项分布,求概率
![image-20230108185915405](https://img-blog.csdnimg.cn/img_convert/ce4e10bc37eeda62c975d415d555fafc.png)
![image-20230108190002130](https://img-blog.csdnimg.cn/img_convert/fbd64a6741a83d014222a2b4340e3fa3.png)
4/6 符合指数分布,求概率
![image-20230108190148488](https://img-blog.csdnimg.cn/img_convert/162d26ccc48931d6338141548713e0f6.png)
![image-20230108190348325](https://img-blog.csdnimg.cn/img_convert/2dba19618fa1b7f55b3ea8c41645b0ac.png)
![image-20230108190400584](https://img-blog.csdnimg.cn/img_convert/f0dc1b9e8c20a56107d8dcb5c675c0ef.png)
5/6 符合正态分布,求概率
正态分布
![image-20230108190541803](https://img-blog.csdnimg.cn/img_convert/3b81502913506ef863978034e4814cf2.png)
![image-20230108190613370](https://img-blog.csdnimg.cn/img_convert/1b721a530799d129b02b58d6f08a35b3.png)
![image-20230108190939226](https://img-blog.csdnimg.cn/img_convert/a2ef14cc6024bc53efc7e5c276ed9d96.png)
6/6 正态分布图像
1.面积表示概率,整个正态分布图像的总面积为1
2.图像关于u对称
3.o越小,图像越陡 【标准差o】
![image-20230108191242926](https://img-blog.csdnimg.cn/img_convert/994acc4035f27cfed191db245de6fd63.png)
![image-20230108191341990](https://img-blog.csdnimg.cn/img_convert/1593cd77728a35322676d08fb88ebc3d.png)
![image-20230108191445328](https://img-blog.csdnimg.cn/img_convert/46e6904c0493ea91ce09ca5b10fcceb6.png)
5.离散型二维变量与连续性二维变量(上)
1/8 已知二维离散型分布律,求???
离散型直接看表
【做题方法参考如下】
![image-20230108134928917](https://img-blog.csdnimg.cn/img_convert/20e0734b45723d848b92c541c551d97e.png)
![image-20230108192129568](https://img-blog.csdnimg.cn/img_convert/16aae589a6d07871a8ccbb5fae9b5dca.png)
![image-20230108192154134](https://img-blog.csdnimg.cn/img_convert/ba5a3b9c9d0f033349b349234cc08a5d.png)
![image-20230108192259970](https://img-blog.csdnimg.cn/img_convert/45836feb2bdbce2ebf5f03f23e3e261d.png)
2/8 已知二维离散型分布律,判断独立性
如果满足p(xy) = p(x) * p(y),那么相互独立
![image-20230108192345990](https://img-blog.csdnimg.cn/img_convert/dbd8c7da6322902551e6c20f389ec22e.png)
则我们只需要验证每一个p(xy) = p(x) * p(y),就可以验证独立性
例1:
![image-20230108192445273](https://img-blog.csdnimg.cn/img_convert/ffd4e1fdd305e416295b0533c8e7bd40.png)
例2:
![image-20230108192627973](https://img-blog.csdnimg.cn/img_convert/137320d2efd501e800ed0f64ad36d9cb.png)
3/8 已知F(x,y)求f(x,y)
F(x,y)是联合分布函数
f(x,y)是联合概率密度
![image-20230108192734205](https://img-blog.csdnimg.cn/img_convert/9e252dfbcad62c1a23fa5df14de79a9a.png)
例1:
![image-20230108192922700](https://img-blog.csdnimg.cn/img_convert/bd675a204afc6ec267d850281d55e422.png)
4/8 已知f(x,y)求F(x,y)
- 找出f(x,y)不等于0时x的范围和y的范围
- 计算结果
- 带入计算
- 区域
二维连续型随机变量的概率密度
![image-20230109210426998](https://img-blog.csdnimg.cn/img_convert/a41630913b98e5e92eef6f734d86cded.png)
做题步骤
![image-20230109213424293](https://img-blog.csdnimg.cn/img_convert/a9c774d2231e9b58c0eb313a12c92875.png)
![image-20230109215000317](https://img-blog.csdnimg.cn/img_convert/a4cd40002b4792ca100da65ad3a3f29f.png)
![image-20230109215914250](https://img-blog.csdnimg.cn/img_convert/6b0066b733443c1d67e384690d775fa5.png)
![image-20230109215614970](https://img-blog.csdnimg.cn/img_convert/0e988bc973637de81fcdef5c262eac57.png)
5/8 已知F(x,y)求P
记住公式然后带入
![image-20230109220034249](https://img-blog.csdnimg.cn/img_convert/ce7822a5e9cd887ce6acc9c0f7ddfe28.png)
例一:
![image-20230109220122108](https://img-blog.csdnimg.cn/img_convert/d9a701c26d4b03851a78b91bfc42d1cb.png)
例二:
![image-20230109220308464](https://img-blog.csdnimg.cn/img_convert/d704bec9eba97df65b757a0fdd39bfe5.png)
6/8 已知f(x,y)求P
注意解题步骤,求范围再带入求更细的范围【进一步缩小求值范围】,再带入二重积分中
例一:
![image-20230109220806635](https://img-blog.csdnimg.cn/img_convert/84d264fc6d605505ed5ea32e4d5e43ae.png)
![image-20230109220913924](https://img-blog.csdnimg.cn/img_convert/e8fe4aed8fdfd35dec0315ebda5a8ee0.png)
![image-20230109221032776](https://img-blog.csdnimg.cn/img_convert/5b2dbed52ebba3210198aaf826442c3c.png)
例二:
![image-20230109221215363](https://img-blog.csdnimg.cn/img_convert/9e138fca64818bac7c81bf5b3325227a.png)
7/8求F(x,y)或f(x,y)中含有的未知数
记住下面的式子
![image-20230109221355164](https://img-blog.csdnimg.cn/img_convert/2a53f30668e0e352795597e018aa0b51.png)
![image-20230109221444483](https://img-blog.csdnimg.cn/img_convert/032f5815ea1fbebf916f466910584f1a.png)
8/8 求均匀分布的f(x,y)与P
记住下面的式子
![image-20230109221557066](https://img-blog.csdnimg.cn/img_convert/58237cc182d7cf9aca34e15afa0f7242.png)
![image-20230109221659370](https://img-blog.csdnimg.cn/img_convert/1f5601c1812fa9bb860859528362a729.png)
6.连续型二维变量(下)
1/7 求边缘分布函数
边缘概率密度
![image-20230109222432981](https://img-blog.csdnimg.cn/img_convert/fb1f2f0a0af53d66fc30c6d9d54a6f5b.png)
边缘概率密度
![image-20230109222524379](https://img-blog.csdnimg.cn/img_convert/e7a67107200b07bc9bd5222ab3a769f2.png)
![image-20230109222547381](https://img-blog.csdnimg.cn/img_convert/1ab305d830ca9abf32b313efed751fbd.png)
![image-20230109222659764](https://img-blog.csdnimg.cn/img_convert/56bc4efd3029737e516bf272ea2cd04c.png)
2/7 求边缘密度函数
边缘概率密度
![image-20230109222524379](https://img-blog.csdnimg.cn/img_convert/18bb2b62b01c1e300c82391af947e32a.png)
![image-20230109223241600](https://img-blog.csdnimg.cn/img_convert/c15357ede3ebfbeac2f8576961516b47.png)
3/7 判断连续型二维变量的独立性
F(x,y) = Fx(X) * Fy(Y)那么X、Y互相独立
f(x,y) = fx(X) * fy(Y)那么X、Y互相独立
这种题目带入验证就可以了
先求出 fx(X) 和 fy(Y)带入计算验证就OK了
如何求出 fx(X) 和 fy(Y)在上一个题型说了
![image-20230109223502075](https://img-blog.csdnimg.cn/img_convert/8e3269e94359f7cbf10729cf0702bcaf.png)
4/7 已知f(x,y),Z=X+Y,求fz(Z)
(卷积公式)
![image-20230109224331998](https://img-blog.csdnimg.cn/img_convert/77c3d64af1658716184980103f6086e8.png)
利用公式进行分类讨论就好啦
![image-20230109224015413](https://img-blog.csdnimg.cn/img_convert/dc426669e10ff04d5b8f093dc6ddb786.png)
5/7 已知f(x,y),Z=x/y,求fz(Z)
同理4/7
![image-20230109224149285](https://img-blog.csdnimg.cn/img_convert/0f2764af314624327d71f71334b2cd7b.png)
![image-20230109224414726](https://img-blog.csdnimg.cn/img_convert/2ab60dca6a2b4a62404bea51a92f0a42.png)
6/7 已知f(x,y),且X,Y相互独立,Z=max(X,Y),求Fz(Z)
记住一个公式:Fz(Z) = Fx(Z)*Fy(Z)
![image-20230109224947906](https://img-blog.csdnimg.cn/img_convert/4246d34f9d1f675f37abe9a01600bd9f.png)
![image-20230109224724908](https://img-blog.csdnimg.cn/img_convert/e42e0a863c1854f0bb142b60bd1f89b1.png)
7/7 已知f(x,y),且X,Y相互独立,Z=min(X,Y),求Fz(Z)
同上面6/7的题目的公式不一样:Fz(Z)=1-[1-Fx(Z)]*[1-Fy(Z)]
![image-20230109224947906](https://img-blog.csdnimg.cn/img_convert/918bed4b4a772a570c227b1bbd65baf9.png)
![image-20230109224910621](https://img-blog.csdnimg.cn/img_convert/cff443446d65d1c23fb1e69ff045f17a.png)
7.随机变量的数字特征(上)
1/6 求离散型的期望E(X)
离散型随机变量的期望
![image-20230109225311989](https://img-blog.csdnimg.cn/img_convert/b7b73843a0b6e3a5c23f912bb92753ed.png)
![image-20230109225415127](https://img-blog.csdnimg.cn/img_convert/c7e79a9c23272e5edfb190de3d7e1a20.png)
2/6 求连续型的期望E(X)
连续型随机变量的期望
![image-20230109225457864](https://img-blog.csdnimg.cn/img_convert/9978d913204c38f2579088514b27d7a9.png)
![image-20230109225600460](https://img-blog.csdnimg.cn/img_convert/a28e97805970cee63d2f81aaad5bfafb.png)
3/6 已知Y=g(x),求E(Y)
连续型随机变量函数的期望
![image-20230109225647869](https://img-blog.csdnimg.cn/img_convert/1471e1a6769a82336e6ba5f0658926c4.png)
例题1(离散型):
![image-20230109225756957](https://img-blog.csdnimg.cn/img_convert/da3bbff9d74979bc471047da0bb23ab2.png)
例题2(连续型):
![image-20230109225825275](https://img-blog.csdnimg.cn/img_convert/a896c3acf6168b88595dac4f8227a1d3.png)
4/6 求方差D(X)
记住两个公式(主要是第二个D(x)=E(x2)-[E(x)2]
![image-20230109225926315](https://img-blog.csdnimg.cn/img_convert/952626985fdd3be885050d3eaec626aa.png)
![image-20230109225946809](https://img-blog.csdnimg.cn/img_convert/c50bf12b2d69b7d1489f2fa4fb93c076.png)
例题1(离散型):
![image-20230109230114976](https://img-blog.csdnimg.cn/img_convert/335c2b31593f25896f1bdc9409762754.png)
例题2(连续型):
![image-20230109230128142](https://img-blog.csdnimg.cn/img_convert/07b9308b4f128fbcef0693cd460746a7.png)
5/6 根据E(x)、D(x)的性质进行复杂运算
![image-20230109230217926](https://img-blog.csdnimg.cn/img_convert/87ce302e718f774003001655157c3ca1.png)
例题:
![image-20230109230254448](https://img-blog.csdnimg.cn/img_convert/62c59cdf7f6a0ac3ce82e4201ea13400.png)
6/6 E(x)、D(x)与各种分布的综合题
各种分布的公式:
![image-20230109230217926](https://img-blog.csdnimg.cn/img_convert/d8dbb879bbdfee3d5f8cf3f76228e4e5.png)
![image-20230109230328078](https://img-blog.csdnimg.cn/img_convert/7016b666efe3223c9116d575e8a76145.png)
例题1:(二项分布)
![image-20211228144542009](https://img-blog.csdnimg.cn/img_convert/ecca28661e42ac9eb694127109b93d58.png)
例题2:(泊松分布)
![image-20211228144647017](https://img-blog.csdnimg.cn/img_convert/3dee7ea72e97151491787155bc606b1d.png)
8.随机变量的数字特征(下)与中心极限定理
1/3 Cov、ρxy、D相关类题目
![image-20230109233943923](https://img-blog.csdnimg.cn/img_convert/9043a895c4c9ac676b2f59f6639e45d4.png)
两个随机变量的协方差与相关系数
![image-20230109234255623](https://img-blog.csdnimg.cn/img_convert/7a1cce23b669ce0ebd4a83976506e506.png)
例题1:
![image-20230109234049388](https://img-blog.csdnimg.cn/img_convert/5cfc3f87b260904130f2726716a10ee1.png)
例题2:
![image-20230109234133050](https://img-blog.csdnimg.cn/img_convert/c64e3d2b4c7138619f12e3d9d5d59276.png)
2/3 利用切比雪夫不等式求概率
切比雪夫不等式
![image-20230109234411328](https://img-blog.csdnimg.cn/img_convert/232e4ad2dc1503f072b696b3f65f17fb.png)
例题:
![image-20230109234544508](https://img-blog.csdnimg.cn/img_convert/e39d4fc7cb7ef73ba4174b4aae36a0dc.png)
3/3 多项独立同分布,求总和怎样的概率
还是看公式:
![image-20230109234759467](https://img-blog.csdnimg.cn/img_convert/aa4f3beb64517acf287efda5ccc9c23a.png)
例题1:
![image-20230109234847733](https://img-blog.csdnimg.cn/img_convert/bb2457c5e826fefbb07b8e2c5d1fe6d2.png)
例题2:
![image-20230109235149765](https://img-blog.csdnimg.cn/img_convert/09fc03b8a7cf066a9e90168d0ed10e1b.png)