1.最小多项式求法
比如例题A=
[
1
2
3
0
5
6
0
0
9
]
\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 5 & 6 \\ 0 & 0 & 9 \end{bmatrix}
⎣⎡100250369⎦⎤
求它的最小多项式。
解：|λE-A|=
[
λ
−
5
−
2
−
3
0
λ
−
5
−
6
0
0
λ
−
9
]
\begin{bmatrix} λ-5 & -2 & -3 \\ 0 & λ-5 & -6 \\ 0 & 0 & λ-9 \end{bmatrix}
⎣⎡λ−500−2λ−50−3−6λ−9⎦⎤
得到(λ-5) ²×(λ-9)，要求它的最小多项式就是求它的特征值时的这个式子，不过要经过验算，这个矩阵的最小多项式有两种可能，一个是(λ-5)×(λ-9)，因为它要包含所有的特征值，经过验算将|5E-A||9E-A|的矩阵值不等于0，所以它的最小多项式为(λ-5) ²×(λ-9)。如果将A改为：
[
5
0
0
0
5
0
0
0
9
]
\begin{bmatrix} 5 & 0 & 0 \\ 0 & 5 & 0 \\ 0 & 0 & 9 \end{bmatrix}
⎣⎡500050009⎦⎤那么他的最小多项式为(λ-5)×(λ-9)，因为|5E-A||9E-A|的矩阵值为0
2.jordan标准型
比如例题A=
[
2
−
1
1
0
3
−
1
2
1
3
]
\begin{bmatrix} 2 & -1 & 1 \\ 0 & 3 & -1 \\ 2 & 1 & 3 \end{bmatrix}
⎣⎡202−1311−13⎦⎤
求它的jordan标准型。
解：|λE-A|=
[
λ
−
2
1
−
1
0
λ
−
3
1
−
2
−
1
λ
−
3
]
\begin{bmatrix} λ-2 & 1 & -1 \\ 0 & λ-3 & 1 \\ -2 & -1 & λ-3 \end{bmatrix}
⎣⎡λ−20−21λ−3−1−11λ−3⎦⎤
经过初等行变换得到(λ-2) ²×(λ-4)。则(λ-2)对应的jordan块为J(2,2)=
[
2
1
0
2
]
\begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 2 \\ \end{bmatrix}
[2012](λ-4)对应的jordan块为J(4,1)=[4],则矩阵的jordan标准型为
[
2
1
0
0
2
0
0
0
4
]
\begin{bmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 4 \end{bmatrix}
⎣⎡200120004⎦⎤
3.求矩阵范数
已知矩阵A=
[
−
1
0
2
i
3
5
−
1
0
1
2
0
−
1
7
−
i
2
−
4
]
\begin{bmatrix} -1 & 0 & 2 & i \\ 3 & 5 & -1 & 0 \\ 1 & 2 & 0 & -1 \\ 7 & -i & 2 & -4 \end{bmatrix}
⎣⎢⎢⎡−1317052−i2−102i0−1−4⎦⎥⎥⎤i²=-1,计算||A||₁,||A||∞。如果x=(-1 2 0 -i)T,计算||Ax||₁和||Ax||∞
解：先求A的1范数就是||A||₁，就是计算矩阵的每列模的和，最后取最大值。意思就是对于矩阵A第一列的每个元素模的和为12，第二列每个元素模的和为8，第三列每个元素模的和为5，第四列每个元素模的和为6，则||A||₁=max(12 8 5 6)=12
求A的无穷范数||A||∞，就是计算每行模的和，最后取最大值。意思就是对于矩阵A第一行的每个元素模的和为4，第二行每个元素模的和为9，第三行每个元素模的和为4，第四行每个元素模的和为14，则||A||∞=max(4 9 4 14)=14
因为：Ax=
[
−
1
0
2
i
3
5
−
1
0
1
2
0
−
1
7
−
i
2
−
4
]
\begin{bmatrix} -1 & 0 & 2 & i \\ 3 & 5 & -1 & 0 \\ 1 & 2 & 0 & -1 \\ 7 & -i & 2 & -4 \end{bmatrix}
⎣⎢⎢⎡−1317052−i2−102i0−1−4⎦⎥⎥⎤乘以
[
−
1
2
0
−
i
]
\begin{bmatrix} -1 \\ 2 \\ 0 \\ -i \end{bmatrix}
⎣⎢⎢⎡−120−i⎦⎥⎥⎤
得到矩阵
[
2
7
3
+
i
−
7
+
2
i
]
\begin{bmatrix} 2 \\ 7 \\ 3+i \\ -7+2i \end{bmatrix}
⎣⎢⎢⎡273+i−7+2i⎦⎥⎥⎤
对这个得到的新的矩阵和上面的求法一样||Ax||₁=9+√￣10+√￣53，||Ax||∞=max(2 7 √￣10 √￣53)=√￣53
