矩阵的幂的极限由什么确定？是由矩阵的谱半径
ρ
(
A
)
\rho(A)
ρ(A)决定的。那么什么是矩阵的谱半径？谱半径的定义是矩阵所有的特征值的模长的最大值。那么为什么会是这样？如果学习了约当标准型就很容易理解了，对于任意一个矩阵，都可以求出它的约当标准型，也就是
A
=
P
−
1
J
P
A=P^{-1}JP
A=P−1JP,那么就可以这样计算了：
lim
n
→
∞
A
n
=
lim
n
→
∞
(
P
−
1
J
n
P
)
=
P
−
1
(
lim
n
→
∞
J
n
)
P
\lim_{n\to\infty}A^n=\lim_{n\to\infty}(P^{-1}J^{n}P)=P^{-1}(\lim_{n\to\infty}J^{n})P
n→∞limAn=n→∞lim(P−1JnP)=P−1(n→∞limJn)P 而
lim
n
→
∞
J
n
\lim_{n\to\infty}J^{n}
limn→∞Jn这个极限就取决于约当标准型的对角线，如果都小于1，那么就存在极限且极限为0.约当标准型的对角线上就是矩阵的所有特征值。
谱半径与范数
计算特征值是十分麻烦的，所以计算谱半径也是十分麻烦的。那么实际中有没有好的办法呢？可以利用矩阵的范数来判断。我们知道对于任意矩阵范数，有以下定理：
ρ
(
A
)
=
inf
α
∥
A
∥
α
\rho(A)=\inf_{\alpha}\parallel A\parallel_{\alpha}
ρ(A)=αinf∥A∥α 也就是说,所有矩阵的所有范数都要大于等于谱半径：
ρ
(
A
)
≤
∥
A
∥
α
\rho(A)\le \parallel A\parallel_{\alpha}
ρ(A)≤∥A∥α 所以实际应用中，用这个就可以快速地判断一个矩阵幂的极限是否存在。比如列和范数（1-范数），行和范数（无穷范数）就是非常好的判断方法。第一步肉眼扫一下，如果有模长和小于1的行或列，根据上述不等式，那么谱半径一定小于1.所以矩阵幂的极限就一定收敛。
矩阵幂级数
矩阵幂级数和数学分析里的幂级数定义差不多，不过是把变量x换成了矩阵A而已。如果谱半径小于1，那么矩阵幂级数存在，并且有以下公式：
lim
n
→
∞
∑
i
=
0
n
A
i
=
(
E
−
A
)
−
1
\lim_{n\to\infty}\sum_{i=0}^nA^i=(E-A)^{-1}
n→∞limi=0∑nAi=(E−A)−1 证明我就不证明了。
