什么是优化问题？
解决有限资源的最佳分配问题。即如何用“最好”的方法，使有限的资源能获取最佳的经济效益。
数学规划模型分类:
线性规划模型（LP）、非线性规划模型（NLP）、整数规划模型（IP）、0-1规划模型、动态规划模型（DP）、非动态规划模型、单目标规划模型、多目标规划模型。
模型的要素:
决策变量、目标函数、约束条件
某厂利用a、b、c三种原料生产A、B、C三种产品，已知生产每种产品在消耗原料方面的各项技术条件和单位产品的利润，以及可利用的各种原料的量（具体数据如下表），试制订适当的生产规划使得该厂的总的利润最大。**
决策变量：
x1,x2,x3分别表示A、B、C产品的量
目标函数：
max z=2x1+4x2+3x3
约束条件：
材料约束：
非负约束：
某工厂拥有A、B、C三种类型的设备，生产甲、乙、丙、丁四种产品。已知每件产品在生产中需要占用的设备机时数、可以获得的利润以及三种设备可利用的时数（具体数据如下表），用线性规划制订使总利润最大的生产计划。
建立的模型如下:
设变量xi为第i种产品的生产件数（i＝1，2，3，4），目标函数Z为相应的生产计划可以获得的总利润。在加工时间以及利润与产品产量成线性关系的假设下，可以建立如下的线性规划模型：
求解这个线性规划，可以得到最优解为：
x1=294.12 x2=1500 x3=0 x4=58.82
最大利润为：
z=12737.06（元）
**注意：**最优解中利润率最高的产品丙在最优生产计划中不安排生产。说明按产品利润率大小为优先次序来安排生产计划的方法有很大局限性。尤其当产品品种很多，设备类型很多的情况下，用手工方法安排生产计划很难获得满意的结果。另外，变量是否需要取整也是需要考虑的问题。
目标函数为最小化：
令 Z’= - Z , Z’ 为最大化问题。
若约束条件是小于等于型：
在不等式左边加上一个新变量（松弛变量），
不等式改为等式，目标函数中新变量系数为零。
若约束条件是大于等于型：
在不等式左边减去一个新变量（剩余变量），
不等式改为等式，目标函数中新变量系数为零。 若约束方程右端项 bi < 0 :
在约束方程两端乘以（－1），不等号改变方向，然后再转化成等式。
若决策变量Xk没有非负要求：
作两个新变量Xk’≥0, Xk’’ ≥0,令Xk＝ Xk’- Xk’’ ，在原有模型中用（ Xk’－ Xk’’）代替所有的Xk，在非负约束中增加Xk’≥0和Xk’’ ≥0 。
例：将下列LP问题转化为标准形式和简化形式。
解：
令Z’=-Z，
引进松弛变量x4≥0,和剩余变量 x5≥0，
令 x2=x2’-x2’’ 其中x2’≥0，x2’'≥0,
得到以下等价的标准形式 :
模型的简化形式 :
单纯形法是美国数学家G.B.丹齐克于1947年首先提出来的。它的理论根据是：线性规划问题的可行域是n维向量空间Rn中的多面凸集，其最优值如果存在必在该凸集的某顶点处达到。顶点所对应的可行解称为基本可行解。单纯形法的基本思想是：先找出一个基本可行解，对它进行鉴别，看是否是最优解；若不是，则按照一定法则转换到另一改进的基本可行解，再鉴别；若仍不是，则再转换，按此重复进行。
**例：**某机床厂生产甲、乙两种机床，每台销售后的利润分别为4万元与3万元。生产甲机床需用A、B机器加工，加工时间分别为每台 2小时和1小时；生产乙机床需用A、B、C三种机器加工，加工时间为每台各一小时。若每天可用于加工的机器时数分别为A机器10小时、B机器8小时和C机器7小时，问该厂应生产甲、乙机床各多少台，才能使总利润最大？
解题：
数学模型：设该厂生产x1台甲机床和x2台乙机床时总利润最大，则 x1 、x2应满足
model: ！程序开始
sets: ！变量集合开始
var/1..2/:x; ！说明x是二维变量
endsets ！集合说明结束
max=4*x(1)+3*x(2); ！目标函数求极大
2*x(1)+x(2)<=10; ！约束函数
x(1)+x(2)<=8; ！约束函数
x(2)<=7; ！约束函数
End ！程序结束
注意：若不加以说明,LINGO认为所有变量非负，@free(x)可以解除x非负的假设。
LINGO的注意事项：
（1）变量名以字母开头，不超过8个字符，不区分大小写；
（2）行结束为“；”，行中注有“！”符号的后面部分为注释；
（3）表达式应化简，通常以“model:”开头，并以“END” 结束；
（4）“END” 前加“@GIN (name)”表示取整，“@BIN(name)”表示取0-1变量
矩阵乘法模式：
model: ！程序开始
sets: ！变量集合开始
row/1..3/:b; !定义b为3维向量
col/1..2/:c,x; !定义c和x为2维向量
matrix(row,col):A; ！定义A是3*2矩阵
endsets ！集合说明结束
max=@sum(col:c*x); ！目标函数求极大
@for(row(i):@sum(col(j):A(i,j)*x(j))<=b(i)); ！约束函数
data: !输入数据
c=4,3;
b=10,8,7;
A=2,1,
1,1,
0,1;
enddata ！数据输入结束
end ！程序结束，若不加以说明,LINGO认为所有变量非负
性规划模型在MATLAB下的标准形(矩阵形式)
c=[-4,-3];
A=[2 1;1 1;0 1];
b=[10;8;7];
v1=[0 0];
x=linprog(c,A,b,[],[],v1)
运行后得：
x =
2.0000
6.0000
[x,fv,ef,out,lag]=linprog (c,A1,b1,A2,b2,v1,v2)
v1为x的下界,v2为x的上界
结果说明：输出x为最优解，
fv：最优值;
ef：程序停止的标志，表示程序停止的原因;
out：结构变量,包括程序运行的有关信息,含三个域;
lag：Lagrange乘子,维数为约束条件的个数,其非零分量
表示相应的约束条件起作用,并表示其对偶规划相应
变量的解,即影子价格。
**注意：**若模型中无等式约束，则A2,b2用[ ]代替，不可缺省！对于极大化问题必须化为极小化问题如(LP)的格式
某厂生产两种口味的饮料,每百箱饮料相关数据:
工厂共有原料60kg,工人150名,甲饮料最大销量为8百箱,问如何安排生产使获利最大?
能否进一步讨论以下问题:
1)若投资0.8万元可增加原料1kg,问应不应该作该项投资?
2)若可以聘用临时工,付给每名临时工最多是多少元?
3)若每百箱甲饮料获利可增加1万元,问是否应改变计划?
4)如果以百箱为最小生产单位,即产量不能为小数怎么办?
模型的建立：
假设甲乙两种饮料的产量分别为x1,x2(百箱）
工厂总获利为z（万元）
转换：
使用matlab编程：
function plan1()
c=[-10,-9];
A=[6 5;10 20;1 0];
b=[60;150;8];
v1=[0 0];
[x,fv,ef,out,lag]=linprog(c,A,b,[],[],v1)
lag.ineqlin
z=-c*x
运行：
即甲乙两种口味的饮料各生产6.4286和4.2857百箱;
最终获利为102.8571万元.
这是求解对偶规划模型（DP），避开对偶规划理论，可以从这个角度考虑，即1Kg原料到底值多少钱？若价值高于0.8万则可以投资，反之则不宜投资！为此观察原料限制增加1单位时对结果的影响。
使用matlab软件编程：
function plan2()
c=[-10,-9];
A=[6 5;10 20;1 0];
b=[61;150;8];
v1=[0 0];
[x,fv,ef,out,lag]
=linprog(c,A,b,[],[],v1)
lag.ineqlin
z=-c*x
观察结果发现获利增加104.4286-102.8571=1.5714
若工人限额增加1个单位，可再运行程序观察结果获利是否增加0.0571？这就是lag拉格朗日乘子——影子价格！
以上结果可知:
结论：显然投资0.8万元增加原料1kg是有利可图的。
由于甲饮料的利润增加,因此模型也改变为：
将第一小题的中的c变为c=[-11,-9]重新计算,得：
由于与总收益从102.8571增加至109.6万元，所以应该改变生产计划。
这相当于对原模型增加整数解的要求，称为整数规划。求解整数规划比线性规划复杂的多，MATLAB软件求解需要使用辅助工具,但使用LINGO软件求解非常简单！
LINGO程序及计算结果
Model:
Max=10*x1+9*x2;
6*x1+5*x2<60;
10*x1+20*x2<150;
x1<8;
@gin(x1); @gin(x2);
end
即甲乙两种口味的饮料各生产8和2百箱;最终获利为98万元.
bi 在原问题中是约束条件的右端项，表明了第 i 种资源的可用量。因此，对偶解的经济含义就是资源的单位改变引起目标函数值的增加量。定量表达了在最优生产方案下对单位第 i 种资源的一种估价，这种估价不是该种资源的市场价格，而是在最优生产方案下的一种虚拟价格，故称其为影子价格（shadow price)
作用：
影子价格真实地反映了资源在经济结构中最优决策下对总收益的影响和贡献大小。影子价格越高，表明该种资源的贡献越大，该种资源越紧缺。影子价格为正数（非零），该资源约束的松弛变量取值为零（没有松弛变量），因此表明了该资源在最优决策下已充分利用耗尽，并成为进一步增加总收益的紧缺资源。影子价格为零，表明该资源在最优决策下尚有剩余。
影子价格也是机会成本。当第 i 种资源的市场价格低于影子价格时，企业应适量购进这种资源，组织和增加生产；相反，当市场价格高于影子价格时，可以卖出资源而不安排生产或提高产品的价格。在完全的市场条件下，随着资源的买进和卖出，影子价格随之变化，直到影子价格与市场价格保持同等水平。