动态规划解决TSP（旅行推销员问题）

本篇文章参考自https://blog.csdn.net/hu413031273/article/details/51329514
TSP问题（Travelling Salesman Problem）又译为旅行推销员问题、货郎担问题，即假设有一个旅行商人要拜访n个城市，从某个城市出发，每个城市只能访问一次且最后回到出发城市，问该推销员应如何选择路线，才能使总的行程最短？

使用动态规划解决该问题的策略为：

1. 易知从哪个城市出发其最短路径都是一样的，故假设从城市1出发。假设已经经过了几个城市，我们需要记录此时位于的城市，以及未访问的城市的集合。
2. 以dp[{V}][init]表示从init点开始，要经过集合V中所有点的距离。dis[init][i]表示城市init到城市i的距离。
   其状态转移方程为dp[{V}][init]=min(dp[{V}][init], dp[{V-i}][i]+dis[init][i])。即假设处于城市init，欲前往下一个城市i，如果在城市i的状态dp[{V-i}][i]加上城市init到城市i的距离小于当前最小值，则前往城市i。
3. 我们怎么存储未访问的城市的集合？一个方法是以二进制01表示该城市是否被访问过，如s=111110，城市1对应的位为0，其他城市对应的位为1，则表示城市6到城市2都还未访问，城市1已访问过。例如在出发点1时，要判断城市2是否访问过，若s&(1<<1)为1则表示城市2未被访问过，若去城市2，则集合V变为s&(~(1<<1))。
4. 以数组path[s][init]记录在城市init，未访问城市集合为s时，下一个城市的最优选择，以存储最优路径。

C++代码如下：

#include <iostream>
using namespace std;
int N=6;//点的个数 
int path[1048577][20];//记录路径 
int dp[1048577][20];//2^20=1048576 dp[V][i]表示从点i到访问完集合V所需最短距离 
int dis[20][20]={{0,10,20,30,40,50}, 
					{12,0,18,30,25,21},
					{23,19,0,5,10,15},
					{34,32,4,0,8,16},
					{45,27,11,10,0,18},
					{56,22,16,20,12,0}};//两个城市的距离 
int TSP(int s,int init)
{	
    if(dp[s][init]) return dp[s][init];//如果该状态已计算则直接返回该值 
    if(s==0) return dis[init][0];//如果此时在点init，其他所有点已访问，则返回点init到点1的距离 
    int minlen=100000;
    for(int i=1;i<=N-1;i++){
        if(s&(1<<i)){//如果点i未被访问过 
            if(TSP(s&(~(1<<i)),i)+dis[init][i]<minlen){
                minlen=TSP(s&(~(1<<i)),i)+dis[init][i];
                path[s][init]=i;
            }
        } 
    }
    return dp[s][init]=minlen;
}
int main()
{
    int init=0,s=0; 
	s=0b111110;
    int res=TSP(s,init);
    printf("%d\n",res);
    //打印路径 
    int num=0;
    printf("1 ");
    while(1){
    	printf("%d ",path[s][init]+1);
    	init=path[s][init];
    	s=s&(~(1<<init));
    	num++;
    	if(num>=5){
			break;
		}
	}
	printf("1\n");
}