生成一个线段的方法主要有三种:
https://blog.csdn.net/BoyInC0de/article/details/90079870
该方法根据直线的几何方程来群定线段路径上的像素位置
方程:
y
=
m
x
+
b
y=mx + b
y=mx+b
通俗来讲, 只要确定
m
\ m
m和
b
\ b
b, 就可以通过不断将
x
i
\ x_i
xi代入方程计算像素
(
x
i
,
y
i
)
\ (x_i, y_i)
(xi,yi)的值
那么对于区间
[
x
0
,
x
1
]
\ [x_0,x_1]
[x0,x1]只要将其离散化到
k
0
,
k
1
.
.
.
.
k
n
\ k_0,k_1....k_n
k0,k1....kn,
其中
k
i
+
1
=
k
i
+
1
,
k
0
=
x
0
,
k
n
=
x
1
\ k_{i+1} = k_i+1, k_0=x_0, k_n=x_1
ki+1=ki+1,k0=x0,kn=x1
我们就可以通过
y
i
=
m
x
i
+
b
\ y_i=mx_i+b
yi=mxi+b计算纵坐标
然后通过取整得到
y
\ y
y坐标
取整:
{
(
k
i
,
y
i
)
}
i
=
0
n
→
{
(
k
i
,
y
i
,
r
)
}
i
=
0
n
\left\{ (k_i,y_i) \right\}_{i=0}^n \to \left\{ (k_i,y_{i,r}) \right\}_{i=0}^n
{(ki,yi)}i=0n→{(ki,yi,r)}i=0n
y
i
,
r
=
r
o
u
n
d
(
y
i
)
=
(
i
n
t
)
(
y
i
+
0.5
)
\ y_{i,r} = round(y_i)=(int) (y_i + 0.5)
yi,r=round(yi)=(int)(yi+0.5)
和后两种算法相比, 该算法具有很明显的弊端.
运算特点: 乘法+加法+取整 浮点运算
方法:
y
i
+
1
=
m
x
i
+
1
+
b
=
m
(
x
i
+
1
)
+
b
=
m
x
i
+
b
+
m
=
y
i
+
m
\begin{aligned} y_{i+1} & = mx_{i+1}+b \\ & = m(x_i+1) + b \\ & = mx_i + b + m \\ & = y_i + m \\ \end{aligned}
yi+1=mxi+1+b=m(xi+1)+b=mxi+b+m=yi+m
运算特点: 加法+取整 浮点运算
void CALLBACK draw(){ //都是全局变量
glColor3f(rc, gc, bc);
m = (float)dy / dx;
y = y_0;
for (x = x0; x <= x1; x++) {
glBegin(GL_POINTS);
glVertex2i(x,(int)(y+0.5));
glEnd();
y += m;
}
glFinish();
}
方法:
直线的隐式方程:
F
(
x
,
y
)
=
A
x
+
B
y
+
C
=
0
F(x,y)=Ax+By+C=0
F(x,y)=Ax+By+C=0
该式中:
A
=
y
0
−
y
1
=
−
Δ
y
B
=
x
1
−
x
0
=
Δ
x
C
=
x
0
∗
y
1
−
x
1
∗
y
0
\begin{aligned} A &= y_0 - y_1 = -\Delta y \\ B &= x_1 - x_0 = \Delta x \\ C &= x_0 * y_1 - x_1*y_0 \\ \end{aligned}
ABC=y0−y1=−Δy=x1−x0=Δx=x0∗y1−x1∗y0
直线具有正负划分性,
直线上方的点:
F
(
x
,
y
)
>
0
\ F(x,y) \gt 0
F(x,y)>0
直线下方的点:
F
(
x
,
y
)
<
0
\ F(x,y) \lt 0
F(x,y)<0
直线上的点:
F
(
x
,
y
)
=
0
\ F(x,y) = 0
F(x,y)=0
有了正负划分性, 我们可以想象像素点组成了一条蛇, 它沿着直线, 在直线两侧游走.
一会大于0, 一会小于0.
那么这条蛇的出发点就是
(
x
0
,
y
0
)
\ (x_0,y_0)
(x0,y0), 那么它的下一个点应该是什么呢?
也就是说根据
(
x
i
,
y
i
,
r
)
\ (x_i,y_{i,r})
(xi,yi,r) 如何确定他的下一个像素点
(
x
i
+
1
,
y
i
+
1
,
r
)
\ (x_{i+1},y_{i+1,r})
(xi+1,yi+1,r), (y_{i,r}是取整后的坐标)
这里我们根据所取点间的中点M与直线的位置构造一个函数判别式:
d
=
F
(
M
)
=
F
(
x
i
+
1
,
y
i
,
r
+
0.5
)
d=F(M)=F(x_i+1,y_{i,r}+0.5)
d=F(M)=F(xi+1,yi,r+0.5)
这个函数的意义是 M点位于直线的上方还是下方, 也就是说, 算完
(
x
i
,
y
i
,
r
)
\ (x_i,y_{i,r})
(xi,yi,r)以后,
x
i
\ x_i
xi加上1也就是点
E
\ E
E
再点E再向上加0.5个点位, 就是点
M
\ M
M, 而我们只要将
M
\ M
M坐标代入直线方程,
就可以根据正负来判断它是在直线上面还是下面
接下来取包括初始点在内的连续三个点, 做一个计算, 参考图:
初始点:
(
x
0
,
y
0
)
\ (x_0,y_0)
(x0,y0) , 中点:
M
(
x
0
+
1
,
y
0
+
0.5
)
\ M(x_0+1,y_0+0.5)
M(x0+1,y0+0.5) 代入
F
(
x
,
y
)
\ F(x,y)
F(x,y)
设
d
=
F
(
x
0
+
1
,
y
0
+
0.5
)
=
A
(
x
0
+
1
)
+
B
(
y
0
+
0.5
)
+
C
=
(
y
0
−
y
1
)
(
x
0
+
1
)
+
(
x
1
−
x
0
)
(
y
0
+
0.5
)
+
x
0
y
1
−
x
1
y
0
=
y
0
−
y
1
+
0.5
(
x
1
−
x
0
)
=
A
+
0.5
B
\begin{aligned} 设d=F(x_0+1,y_0+0.5) &= A(x_0+1) + B(y_0 + 0.5) + C \\ &= (y_0-y_1)(x_0+1)+(x_1-x_0)(y_0+0.5)+x_0y_1-x_1y_0 \\ &= y_0-y_1+0.5(x_1-x_0) \\ &= A+0.5B \end{aligned}
设d=F(x0+1,y0+0.5)=A(x0+1)+B(y0+0.5)+C=(y0−y1)(x0+1)+(x1−x0)(y0+0.5)+x0y1−x1y0=y0−y1+0.5(x1−x0)=A+0.5B
接下来判定再下一个像素,
(
x
i
+
2
,
y
i
+
1
,
r
)
\ (x_{i}+2, y_{i+1,r})
(xi+2,yi+1,r)
第一种情况上一点的:
d
≥
0
\ d\geq0
d≥0:
初始点:
(
x
0
,
y
0
)
\ (x_0,y_0)
(x0,y0) , 第一个点:
M
(
x
0
+
1
,
y
0
)
\ M(x_0+1,y_0)
M(x0+1,y0), 那么第二个点
(
x
0
+
2
,
y
0
+
0.5
)
\ (x_0+2,y_0+0.5)
(x0+2,y0+0.5) 代入F(x,y)
F
(
x
0
+
2
,
y
0
+
0.5
)
=
A
(
x
0
+
2
)
+
B
(
y
0
+
0.5
)
+
C
=
(
y
0
−
y
1
)
(
x
0
+
2
)
+
(
x
1
−
x
0
)
(
y
0
+
0.5
)
+
x
0
y
1
−
x
1
y
0
=
(
y
0
−
y
1
)
+
0.5
(
x
1
−
x
0
)
+
(
y
0
−
y
1
)
=
A
+
0.5
B
+
A
=
d
+
A
\begin{aligned} F(x_0+2,y_0+0.5) &= A(x_0+2) + B(y_0 + 0.5) + C \\ &= (y_0-y_1)(x_0+2)+(x_1-x_0)(y_0+0.5)+x_0y_1-x_1y_0 \\ &=(y_0-y_1)+0.5(x_1-x_0) + (y_0 - y_1) \\ &= A+0.5B+A \\ &=d + A \end{aligned}
F(x0+2,y0+0.5)=A(x0+2)+B(y0+0.5)+C=(y0−y1)(x0+2)+(x1−x0)(y0+0.5)+x0y1−x1y0=(y0−y1)+0.5(x1−x0)+(y0−y1)=A+0.5B+A=d+A
第二种情况上一点的:
d
<
0
\ d\lt0
d<0:
初始点:
(
x
0
,
y
0
)
\ (x_0,y_0)
(x0,y0) , 第一个点:
M
(
x
0
+
1
,
y
0
+
0.5
)
\ M(x_0+1,y_0+0.5)
M(x0+1,y0+0.5), 那么第二个点
(
x
0
+
2
,
y
0
+
1.5
)
\ (x_0+2,y_0+1.5)
(x0+2,y0+1.5) 代入F(x,y)
F
(
x
0
+
2
,
y
0
+
1.5
)
=
A
(
x
0
+
2
)
+
B
(
y
0
+
1.5
)
+
C
=
(
y
0
−
y
1
)
(
x
0
+
2
)
+
(
x
1
−
x
0
)
(
y
0
+
1.5
)
+
x
0
y
1
−
x
1
y
0
=
y
0
−
y
1
+
0.5
(
x
1
−
x
0
)
+
(
y
0
−
y
1
)
+
(
x
1
−
x
0
)
=
A
+
0.5
B
+
A
+
B
=
d
+
A
+
B
\begin{aligned} F(x_0+2,y_0+1.5) &= A(x_0+2) + B(y_0 + 1.5) + C \\ &= (y_0-y_1)(x_0+2)+(x_1-x_0)(y_0+1.5)+x_0y_1-x_1y_0 \\ &= y_0-y_1+0.5(x_1-x_0)+(y_0-y_1)+(x_1-x_0) \\ &= A+0.5B+A+B \\ &=d+A+B \end{aligned}
F(x0+2,y0+1.5)=A(x0+2)+B(y0+1.5)+C=(y0−y1)(x0+2)+(x1−x0)(y0+1.5)+x0y1−x1y0=y0−y1+0.5(x1−x0)+(y0−y1)+(x1−x0)=A+0.5B+A+B=d+A+B
观察第一种情况:
d
\ d
d 的增量是
A
\ A
A ( 即
−
Δ
y
-\Delta y
−Δy )
观察第二种情况:
d
\ d
d 的增量是
A
+
B
\ A+B
A+B ( 即
−
(
Δ
y
−
Δ
x
)
-(\Delta y-\Delta x )
−(Δy−Δx) )
那么采用归纳法:
d
0
=
A
+
0.5
B
d
i
+
1
=
{
d
i
+
A
,
d
i
>
0
d
i
+
A
+
B
,
d
i
≤
0
\begin{aligned} d_0 &= A+0.5B \\ d_{i+1} &= \begin{cases} d_i + A, & \text{$d_i\gt 0$} \\ d_i + A+B, & \text{$d_i\leq 0$} \end{cases} \end{aligned}
d0di+1=A+0.5B={di+A,di+A+B,di>0di≤0
接下来做一个优化: 用2d来代替d
增量都是整数, 只有初始值包含小数, 可以用2d代替d, 2a改写成a + a
这样一来, 算法中只有整数变量, 不含乘除法, 可用硬件实现.
但是, 这只是斜率
0
≤
m
≤
1
0\leq m\leq 1
0≤m≤1的情况
按照上面的归纳法, 通过计算, 便可以得到以下方程:
0
≤
m
≤
1
0\leq m\leq 1
0≤m≤1:
d
0
=
2
A
+
B
d
i
+
1
=
{
d
i
+
2
A
,
d
i
>
0
d
i
+
2
A
+
2
B
,
d
i
≤
0
d
i
<
0
时
,
y
增
1
\begin{aligned} d_0 &= 2A+B \\ d_{i+1} &= \begin{cases} d_i + 2A, & \text{$d_i\gt 0$} \\ d_i + 2A+2B, & \text{$d_i\leq 0$} \end{cases} \\ d_i&\lt 0时, y增1 \end{aligned}
d0di+1di=2A+B={di+2A,di+2A+2B,di>0di≤0<0时,y增1
m
>
1
m\gt 1
m>1:
d
0
=
A
+
2
B
d
i
+
1
=
{
d
i
+
2
A
+
2
B
,
d
i
>
0
d
i
+
2
B
,
d
i
≤
0
d
i
>
0
时
,
x
增
1
\begin{aligned} d_0 &= A+2B \\ d_{i+1} &= \begin{cases} d_i + 2A +2B, & \text{$d_i\gt 0$} \\ d_i +2B, & \text{$d_i\leq 0$} \end{cases} \\ d_i&\gt 0时, x增1 \end{aligned}
d0di+1di=A+2B={di+2A+2B,di+2B,di>0di≤0>0时,x增1
−
1
≤
m
≤
0
-1\leq m\leq 0
−1≤m≤0:
d
0
=
2
A
−
B
d
i
+
1
=
{
d
i
+
2
A
−
2
B
,
d
i
>
0
d
i
+
2
A
,
d
i
≤
0
d
i
>
0
时
,
y
减
1
\begin{aligned} d_0 &= 2A-B \\ d_{i+1} &= \begin{cases} d_i + 2A-2B, & \text{$d_i\gt 0$} \\ d_i + 2A, & \text{$d_i\leq 0$} \end{cases} \\ d_i&\gt 0时, y减1 \end{aligned}
d0di+1di=2A−B={di+2A−2B,di+2A,di>0di≤0>0时,y减1
m
<
−
1
m\lt -1
m<−1:
d
0
=
A
−
2
B
d
i
+
1
=
{
d
i
−
2
B
,
d
i
>
0
d
i
+
2
A
−
2
B
,
d
i
≤
0
d
i
<
0
时
,
x
增
1
\begin{aligned} d_0 &= A-2B \\ d_{i+1} &= \begin{cases} d_i - 2B, & \text{$d_i\gt 0$} \\ d_i + 2A - 2B, & \text{$d_i\leq 0$} \end{cases} \\ d_i&\lt 0时, x增1 \end{aligned}
d0di+1di=A−2B={di−2B,di+2A−2B,di>0di≤0<0时,x增1
#include <windows.h>
#include <GL.H>
#include <GLAUX.H>
#include <GLU.H>
#include <math.h>
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <time.h>
//添加这3条语句
#pragma comment (lib, "opengl32.lib")
#pragma comment (lib, "glu32.lib")
#pragma comment (lib, "glaux.lib")
//#pragma comment( linker, "/subsystem:\"windows\" /entry:\"mainCRTStartup\"" ) //这句是不让控制台窗体出现，如果想要出现，去掉即可。
inline void init() //初始化
{
glClearColor(0.0, 0.0, 0.0, 1.0);//黑色背景
}
//绘制图形函数
float r = 1, g = 0, b = 0;
float x = 30.0f, y = 30.0f;
float R1, R2;
float pi = 3.1415926f;
int i;
int x0; int y_0; int x1; int y_1; float rc; float gc; float bc;
void CALLBACK draw()
{
float dx = x1 - x0, dy = y_1 - y_0;
float m = 0;
if (dx != 0) m = dy / dx;
else return;
if (x0 > x1)
{
int t = x1; x1 = x0; x0 = t;
t = y_1; y_1 = y_0; y_0 = t;
}
int d = 0;
int d1 = d, d2 = d;
int a = y_0 - y_1, b = x1 - x0, c = x0 * y_1 - x1 * y_0;
glColor3f(rc, gc, bc);
d = a + a + b;
d1 = a + a;
d2 = (a + b) + (a + b);
int x = x0;
int y = y_0;
for (int i = x0; i < x1; i++)
{
if (d < 0)
{
y++;
d += d2;
}
else d += d1;
x++;
glBegin(GL_POINTS);
glVertex2i(x, y);
glEnd();
}
glFinish();
}
void set(int x0, int y_0, int x1, int y_1, float rc, float gc, float bc) {
::x0 = x0; ::x1 = x1; ::y_0 = y_0; ::y_1 = y_1; ::rc = rc; ::gc = gc; ::bc = bc;
}
void CALLBACK change(){
set(100, 500, 350, 550, 0.0f, 1.0f, 0.0f); draw();
}
void main()
{
auxInitDisplayMode(AUX_SINGLE | AUX_RGBA);
auxInitPosition(100, 0, 1000, 1000);
auxInitWindow("CGOpenGL");
init();
auxIdleFunc(change);
auxMainLoop( draw );
}
该代码采用包含直线段绘制的两种算法:
**中点算法, 和 DDA算法. **
分别采用两种算法描绘出4种不同斜率的直线, 外加一条单独处理的垂直x轴的直线. 有明确的注释.
虽然OpenGL1.1库文件较老, 但不论是对于教学还是实践, 对理解直线段算法都具有重要意义.
下载地址: https://download.csdn.net/download/boyinc0de/11206604
效果展示:
其中左侧图形为: 中点算法绘制
中间竖线为: 特殊处理
右侧图形为: DDA算法绘制
