通过BS公式无法反解出隐含波动率，常用的求解方法有牛顿迭代法和二分法。
主要思路是，先设定一个初始波动率值，比如20%；然后建立一种迭代关系：如果由初始波动率值得到的期权价格高于市场价格，那么初始波动率减少一定的量（因为期权价格与波动率成正比），反之增加，如此迭代；直到计算出的期权价格越来越逼近市场真实价格，可设置一个阈值，比如二者之差的绝对值小于一个基点就认为它们相等。
假设某一期权的S、K、r、σ和t分别为5.29，6，0.04，0.24和0.5，看涨期权的市场价格为0.1566，看跌期权的市场价格为0.7503，求解这两种期权的隐含波动率。
from scipy.stats import norm
import numpy as np
def bscall(S,K,r,sigma,t):
d1=(np.log(S/K)+(r+0.5*sigma**2)*t)/(sigma*np.sqrt(t))
d2=d1-sigma*np.sqrt(t)
return S*norm.cdf(d1)-K*np.exp(-r*t)*norm.cdf(d2)
def bsput(S,K,r,sigma,t):
d1=(np.log(S/K)+(r+0.5*sigma**2)*t)/(sigma*np.sqrt(t))
d2=d1-sigma*np.sqrt(t)
return -S*norm.cdf(-d1)+K*np.exp(-r*t)*norm.cdf(-d2)
def newton_call(P,S,K,r,t):
sigma=0.2
while abs(bscall(S,K,r,sigma,t)-P)>0.0001:
if bscall(S,K,r,sigma,t)>P:
sigma-=0.0001
else:
sigma+=0.0001
return sigma
def newton_put(P,S,K,r,t):
sigma=0.2
while abs(bsput(S,K,r,sigma,t)-P)>0.0001:
if bsput(S,K,r,sigma,t)>P:
sigma-=0.0001
else:
sigma+=0.0001
return sigma
print('看涨期权隐含波动率为{:.4f}\n看跌期权隐含波动率为{:.4f}'.format(newton_call(0.1566,5.29,6,0.04,0.5),newton_put(0.7503,5.29,6,0.04,0.5)))
看涨期权隐含波动率为0.2426
看跌期权隐含波动率为0.2446
二分法的计算效率要比牛顿迭代法快一倍，因为二分法是折半迭代。其基本思路是设定波动率的初始最小值和最大值，以及居中值，形成两个区间；然后都代入BS公式看市场价格位于哪个区间内；之后该区间再折半，如此往复，最终求出的居中波动率值就是隐含波动率。
def binary_call(P,S,K,r,t):
sigma_up=1
sigma_down=0.001
sigma_mid=(sigma_up+sigma_down)/2
while abs(bscall(S,K,r,sigma_mid,t)-P)>0.0001:
if bscall(S,K,r,sigma_down,t)<P<bscall(S,K,r,sigma_mid,t):
sigma_up=sigma_mid
sigma_mid=(sigma_mid+sigma_down)/2
elif bscall(S,K,r,sigma_up,t)>P>bscall(S,K,r,sigma_mid,t):
sigma_down=sigma_mid
sigma_mid=(sigma_up+sigma_down)/2
else:
print('error!')
break
return sigma_mid
def binary_put(P,S,K,r,t):
sigma_up=1
sigma_down=0.001
sigma_mid=(sigma_up+sigma_down)/2
while abs(bsput(S,K,r,sigma_mid,t)-P)>0.0001:
if bsput(S,K,r,sigma_down,t)<P<bsput(S,K,r,sigma_mid,t):
sigma_up=sigma_mid
sigma_mid=(sigma_mid+sigma_down)/2
elif bsput(S,K,r,sigma_up,t)>P>bsput(S,K,r,sigma_mid,t):
sigma_down=sigma_mid
sigma_mid=(sigma_up+sigma_down)/2
else:
print('error!')
break
return sigma_mid
print('看涨期权隐含波动率为{:.4f}\n看跌期权隐含波动率为{:.4f}'.format(binary_call(0.1566,5.29,6,0.04,0.5),binary_put(0.7503,5.29,6,0.04,0.5)))
看涨期权隐含波动率为0.2427
看跌期权隐含波动率为0.2447
可以发现两种方法计算出的结果差别非常小，但是二分法的效率更高。
波动率微笑（smile）描述了期权隐含波动率和执行价格之间的关系，即在其他条件相同的情况下，期权的隐含波动率在平值点附近最小，在虚值和实值区域更大；若隐含波动率在低执行价格区域高于高执行价格区域（即单调递减），那么就称为波动率偏斜（skew），对于股票期权来说这种情况更常见。
以2018年6月27日到期的、不同执行价格的上证50ETF期权合约在2017年12月29日的收盘价数据为研究对象，看涨看跌期权各有7支。当天50ETF的净值为2.859元，无风险利率为六个月的shibor，当天为4.8823%。7支执行价格从2.7元至3元的看涨期权收盘价分别为0.2841，0.2486，0.2139，0.1846，0.1586，0.1369，0.1177；7支执行价格从2.7元至3元的看跌期权收盘价分别为0.0464，0.0589，0.0750，0.0947，0.1183，0.1441，0.1756。根据上述数据画出两种期权的波动率微笑（偏斜）。
from datetime import date
t=(date(2018,6,27)-date(2017,12,29)).days/365
S=2.859;r=0.048823
K=np.arange(2.7,3.05,0.05)
Pcall=np.array([0.2841,0.2486,0.2139,0.1846,0.1586,0.1369,0.1177])
Pput=np.array([0.0464,0.0589,0.0750,0.0947,0.1183,0.1441,0.1756])
volcall=np.zeros_like(K)
for i in range(len(K)):
volcall[i]=(binary_call(Pcall[i],S,K[i],r,t))
volput=np.zeros_like(K)
for i in range(len(K)):
volput[i]=(binary_put(Pput[i],S,K[i],r,t))
import matplotlib.pyplot as plt
from pylab import mpl
mpl.rcParams['font.sans-serif']=['SimHei']
mpl.rcParams['axes.unicode_minus']=False
plt.plot(K,volcall,label='50ETF认购期权')
plt.plot(K,volput,label='50ETF认沽期权')
plt.xlabel('执行价格')
plt.ylabel('隐含波动率')
plt.title('50ETF期权的波动率微笑（偏斜）')
plt.legend()
plt.grid()
理论上根据平价公式，相同执行价格、到期日等条件下的看涨看跌期权计算出来的隐含波动率应该相同，否则存在套利机会。但是事实上由于交易成本、卖空限制等因素，看涨看跌期权的隐含波动率允许存在一定的偏差，在这个合理的偏差范围内，平价套利是无法实施的。
关于波动率微笑的形成，主要是因为BS公式假定资产价格服从对数正态分布，而事实上该资产服从一个更加尖峰厚尾的分布，两边尾部的风险更高，因此隐含波动率更大；同时资产价格有跳跃现象（比如外汇期权的外汇受到央行管制），期权价值的不确定性增大，这也会导致两边变成肥尾。
波动率偏斜现象（左高右低）在股票期权中更为常见，因为股票价格也不是完全服从对数正态分布，而是一种尖峰、左肥尾、右瘦尾的分布（股票涨得少跌得多），因此左尾更加肥厚，表明隐含波动率更高。
还有一种较为可靠的解释是崩盘恐惧症（crashophobia）：低执行价格区域对应的虚值看跌期权按照BS模型定价很低，但是实际上没这么低（股灾不少见），导致市面上定价有溢价，因此高的价格形成了高的σ。