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宋浩《概率论与数理统计》自用笔记

2023-10-27

文章目录

第一章 概率论的基本概念

有理数都能表示成分数

  • 差事件：A-B = A - AB = A(~B)，减去交集
  • 互不相容事件：适用于多个事件
  • 对立事件：并集为全集，只适用于两个事件

完备事件组：A1、…、An两两互不相容，并集为全集
德摩根定律：长线变短线，符号变
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古典概型

  • 有限个样本点
  • 等可能性
    与第几次拿没有关系，看作第一次拿即可

几何概型

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难题：朝指定的两条平行线投针，针与平行线相交的概率

  1. 相交要距离——垂直距离和角度肯定需要标记，而用中点表示垂直距离就可以用到已知量d
  2. 发现相交的不等式表示，得到x、d应满足的表达式
  3. 写出范围，用面积算概率

推广：可用来求π

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结合定积分、绝对值等需注意

公理化

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做题：画图、性4.5
如果概率=0，一定是不可能事件吗？不是！
扔到0.1这个点->概率为0也有可能发生
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条件概率

做题：定义、乘法公式、相互独立…
清楚地定义事件很重要！
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全概率公式：知道原因推结果
做题：列出所有情况（分类讨论）有时不止分一次情况
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贝叶斯公式：知道结果推原因
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做题：结合乘法公式和全概率公式使用在这里插入图片描述
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独立性

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伯努利模型
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第二章 随机变量及其分布

将事件用数学语言描述。
离散型：有限个+可列无穷
非离散型：主要看连续性
连续性：1个或多个区间
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离散型随机变量及其概率分布

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解题：
1、取值有哪些情况，概率求出来 列表
2、根据要求的范围来求

连续型随机变量及其概率密度函数

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连续：端点无所谓，不影响概率
概率为0不一定不发生（多一个孤立点），概率为1不一定必然发生（少一个孤立点）。
以后多用积分解题
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不计高阶无穷小时，分子就是柱状的面积。

分布函数

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右连续：从右边逼近，极限值等于函数值
连续的三个条件：极限值存在、函数值存在、极限值等于函数值
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a-0是从负无穷趋近a，取不到a。0相当于△0，一个0的无穷小，可以减小一点点。

离散型的分布函数

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快捷方法：把X从小到大排列 然后画火柴棒
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如果只知道每段的，每个点的概率就是向上跳跃的范围
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连续型的分布函数

连续型端点上有没有无所谓，不像离散型会重点区分和计算！
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注意连续型分布中，极限值等于端点值。

离散型分布

0-1分布

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几何分布

看首次发生的词语。
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二项分布

最可能值指n对应(n+1)p时，概率最大。类比p=0.5时n/2和(n+1)/2概率最大。
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一人看一台，多了就不能及时维修。概率得（2）比（1）的效率反而高。难算：泊松
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泊松分布

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查表，看λ=6对应的值加起来什么时候超过0.95
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也不一定要写公式，直接查表。

超几何分布

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不放回抽样试验：通常要近似两次，否则不好算
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连续型分布

均匀分布

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把X限制好就行，这里几何概型做也很好做。

指数分布

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无记忆性：用分布函数的公式计算即可。
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可用比例相等来理解。
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正态分布

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上面的图是错的，下面的图是对的，毕竟总面积相等。
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一般的正态分布如何化成标准正态分布？标准直接能做，一般的还要经过一步变换。
![在这里插入图片描述](https://img-blog.csdnimg.cn/819f7b7b5a9d4401b9f99210299c9596.png?x-oss-process=image/watermark,type_ZHJvaWRzYW5zZmFsbGJhY2s,shadow_50,text_Q1NETiBATGFwc2V5,size_20,color_FFFFFF,t_70,g_se,x_1
注意带不带0的区别：带0是标准分布
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区别不大
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3sigma准则，落在外头概率很小。
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给定概率，求对应的点。

随机变量函数的分布

离散型

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连续型
  1. 用X的分布函数表示Y的分布函数
  2. 两边求导得P概率密度函数 注意复合函数求导
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    均匀分布：
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    正态分布：

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带平方或根号容易分类讨论，要细心：
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注意分布函数和概率密度函数的区别~
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第三章 多维随机变量及其分布

一个样本空间的多个变量描述性质。

  • 联合分布：概率为体积（三维空间中）。
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  • 边缘分布： 在这里插入图片描述

二维离散型的联合分布和边缘分布

  • 联合分布：把xy两条直线画出来就简单了

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  • 边缘分布：对行和列求和即可。近似于只有一个变量了。
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  • 关系：用表格很好理解。 在这里插入图片描述

  • 二维连续型的联合分布和边缘分布

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（1）、（2）用公式求积分，（3）让x、y分别趋向正无穷
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期中不考，待补充。

第四章 随机变量的数字特征

离散型期望

取值和概率相乘然后相加

连续型期望

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X是连续型，Y是离散型，最终求Y。概率可与分布结合出题。

随机变量函数

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直接代入算

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多维也大同小异。

期望的性质

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注意验证XY是否独立。
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X拆解成Xi做。

方差

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方差的性质

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注意（5）右边是加号！！
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原点矩和中心矩

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高于4阶的矩极少使用。

第四章 大数定律及中心极限定理

大数定律

切比雪夫不等式

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把EX和DX确认了代入即可。

伯努利大数定律

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依概率收敛：虽然中间有不符合的，但大体是向极限逼近的。所以可以用频率逼近概率。
这里写的是同分布，所以不是切比雪夫大数定律的证明过程。
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切比雪夫大数定律

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若独立同分布：
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辛钦大数定律

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更强了，因为方差无要求。说明用平均数算期望靠谱。

独立同分布中心极限定理

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做题：根据不同分布把EX和DX求出来。
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德莫弗-拉普拉斯中心极限定理

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当P（X=88）不好求时，巧妙地变成（87.5-88.5），因为概率误差很小。
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二项分布难算怎么变成别的分布？泊松分布和正态分布均可，看n。
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第六章 样本和抽样分布

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样本之间都是独立的。
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统计量不含未知参数！！！
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注意样本方差进行了修正！
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S12：两个随机变量的协方差 R：相关系数
加粗样式在这里插入图片描述
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将样本取平均值后，方差会变小：波动性变小。

抽样分布

卡方分布

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标准化：
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t分布

结合正态分布和卡方分布！标准化！！
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F分布

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利用上分位数的定义：大于号。

正态总体下的抽样分布

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各种分布去配。
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第七章 参数估计

从样本的数据推断分布中的参数。

  • 点估计：一个点 180
  • 区间估计：一个区间 175-185 较简单 区间要小一点，落在区间的概率大一点

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带尖号的为估计值。

矩估计定理

和分布类型无关。
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均匀分布的矩估计定理：做题时估计区间参数a、b
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样本值为1、2、1.因为是估计，不是用概率和为1做题。
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矩不一定都存在。

极大似然估计

按照左边的规律来！在这里插入图片描述
为什么x<=0时没有乘上去，因为P=0说明样本中的事件没有发生，所以不包括在似然函数的范畴？
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如果有两个参数：求偏导！！！把另一个变量看做常数。
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均匀分布不能用求导的方法，事实上单调性可直接看出来，所以结果如下：
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无偏性

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有效性

方差越小越好 发现1/n有效？
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无偏性求期望，有效性求方差。

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