7.1.1 bayes模型，因子图和最小二乘
这一部分主要是对董靖博士在公开课《因子图的理论基础》上的回忆和总结。
(1)bayes模型
假设有黄色是机器人在不同时刻的位姿，蓝色是机器人观测到的路标点，红色是机器人对路标点的观测，绿色是机器人对自身运动的观测。
那么，这个过程可以用下面这个bayes-net来描述：
那么，可以有这样的定义：
黄色——机器人位姿——是状态量——X；
蓝色——路标点坐标——是状态量——X；
红色——机器人对路标点的观测——是观测量——Z；
绿色——机器人对自身运动的观测——是观测量——Z；
状态量X，对应着 待优化量，也就是g20里的vertex，ceres里的ParameterBlock；
观测量Z，对应着残差/因子，也就是g20里的edge，ceres里的ResidualBlock；
那么根据bayes法则，观测量Z和状态量X联合概率等于条件概率乘以边缘概率：
P(Z | X)是观测量Z对应的概率，也叫似然；
P(X, Z)是观测量Z和状态量X的联合概率；
P(X)是状态量的先验概率，比如说世界坐标系，这就是一个先验，假如说没有世界坐标系这个先验信息，那么系统整体性的漂移都能满足求解要求，那么就多了一个自由度的不可观。
而观测变量Z有一个特点，例如左一红圈，只跟状态变量x1和l1有关，而与路标点l2无关。其它的观测变量也有类似的特点，也就是稀疏性和不相关性这两个特点，所以整体的观测P(Z | X)又可以以每一个单独的观测叠乘来获得。
(2)因子图
首先要明确我们的求解目标是P(X | Z)最大时，也就是在观测Z的情况下，对应的X；
因为往往状态量X是不知道的，而在状态X下的观测Z，也就是P(Z | X)是知道的；
所以，需要找到待求量P(X | Z)和已知量P(Z | X)之间的关系：
P(X | Z)等于上式中中间的式子，正比于右边的式子。
P(Z)是观测的先验信息，对应的是测量传感器的数学模型，例如相机，IMU，轮速器。
我们想找到这么一组状态量X，使得在当前观测Z的情况下，出现状态P(X | Z)的概率最大！
可以转换为求解，在当前状态下对应的观测P(Z | X)乘以一个状态量的先验P(X)！
这就是传说中的，最大后验估计，转化为求似然乘以状态量的先验！
(3)因子的定义
那么，
就可以转换为，
因子的定义如下：
里面的f(xi)就是观测量的残差！也就是我们常说的IMU残差，重投影误差，先验误差等。
之所以用e的指数函数，因为传感器的测量噪声一般都满足gauss分布。
当因子连乘后，对应的最大似然估计就是最小二乘。
(3)残差，状态量，J，H的对应位置关系
因子图它最方便的地方就是能一眼确定这是什么类型的残差，还能知道当前残差对哪个状态量X的J块是有值的，哪块是0的！
就比如说左一红色方框因子，我们能一眼知道是套用重投影误差模型，对应的J是什么公式早就有了；它连着x1和l1，说明只有这两个位置的J是有值的。
不过需要注意的是，vins的因子图一般是下面这种形式的。同一个特征点是被2帧观测到的(重投影)，而某一个IMU因子与相邻两帧的PVQ和bias相连的。
因此，往J大矩阵里面塞每一行非常方便！这也是g2o的逻辑，加状态量叫做加入vertex，加入一个残差，也就是J矩阵的一行，叫做加edge！
考虑到pose的数量远小于特征点的数量，在shur操作的时候一般会求pose部分的状态量，所以一般会把pose相关的edge放在J矩阵的上方。
7.1.2 后端模型
首先确定状态量X，
包括各帧的PVQ，bias，外参，特征点的逆深度。状态量的数量决定了H矩阵的维度和J矩阵的列数。PQ这两类状态是视觉和IMU都会优化的量。
目标函数为：
这三项分别为边缘化的先验信息、IMU的测量残差、视觉的重投影误差。这个目标函数就解释了vins系统为什么是紧耦合的系统，因为三个目标函数放在一起优化的！
对于这样的目标函数，可以构造一个下式所示的增量公式，迭代求解状态量X的最优解：
根据上一节内容，我们知道Jacobian和H是可以一行一行(若干行若干行)往里面加，接下来我们研究一下，怎么样往里面加。
上面这个因子图非常经典地讲解了IMU约束和视觉约束。
(1)IMU约束部分
在4.1.1.IMU预积分部分，我们已经知道：
等号左边减去右边，就是IMU残差：
优化变量是相邻两帧 (第bk、bk+1时刻)p、q、v、ba、bg：
这一部分，残差是15维的，状态量是7+9+7+9维的，所以说，每增加一个IMU约束，总的Jacobian矩阵增加了15行，增加了7+9+7+9列！(需要注意的是，四元数是4维的，但是Localdemension是3维的)。
接下来，我们需要弄清楚，残差对状态量的Jacobian是什么，对应位置补充上这个J的矩阵块就行了，其他位置还是0。崔神的推到结果如下。
残差对bk时刻的PVQ的Jacobian：15*7
残差对bk时刻的的速度/bias的Jacobian：15*9
残差对bk+1时刻的PVQ的Jacobian：15*7
残差对bk+1时刻的的速度/bias的Jacobian：15*9
然后就是在构造对应的H矩阵块的时候，需要乘上信息矩阵，JT (Pk+1) J + uI，也就是4.2对应部分。
(2)视觉约束部分
这部分的残差就是重投影误差，注意是在归一化平面上表示的：
但是和纯视觉不同的地方是，待优化的状态量X中的旋转平移，都是IMU系到w系到，而不是camera系到w系的：
这里的状态量有两个特点：
待优化量和IMU约束部分的待优化量有重叠，再次体现了紧耦合；
和IMU不同的是，IMU每次优化的状态量是相邻两帧的，但是视觉优化的2帧不一定是相邻的，因此用i，j表示。
特征点在归一化相机坐标系与在相机坐标系下的坐标关系为：
这块没有采用深度，而采用逆深度，因为逆深度满足高斯分布。
对于第 l 个路标点 P，将 P 从第一次观看到它的第 i 个相机坐标系，转换到当前的第 j 个相机坐标系下的像素坐标：
这个转换过程，经历了从ci坐标系-> bi坐标系->w坐标系-> bj坐标系-> cj坐标系这个过程。
上面这个等式，也就是：
那么，在归一化平面上的重投影坐标就是fcj = [xcj/zcj, ycj/zcj]，重投影误差就是开头的公式。
这一部分，残差是2维的，状态量是7+7+m维的，所以说，每增加一个视觉约束，总的Jacobian矩阵增加了2行，增加了7+7+m列！(需要注意的是，四元数是4维的，但是Localdemension是3维的)。
因为根据链式法则，对Jacobian的计算可以分成：
1）视觉残差对重投影3D点fcj求导。
2） 再乘上fcj对各个优化变量求导。
然后就是在构造对应的H矩阵块的时候，需要乘上信息矩阵，JT (Pk+1) J + uI，视觉约束的协方差与标定相机内参时的重投影误差有关。VINS在代码中sqrt_info取1.5个像素，对应到归一化相机平面还需除以焦距f，最后得到的信息矩阵：（这里真正的信息矩阵其实是sqrt_info的平方）
(3)先验约束部分
放在8.1节介绍。
